Найти угол AOD, если отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O, и угол ACB равен 23 градусам. Ответ дайте в градусах.

1. Угол $ABC$ — вписанный, опирающийся на дугу $AC$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AC$, это угол $AOC$. Значит, $$\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$$ Так как $\angle ACB = 23^\circ$, а вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то дуга $AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ$. Угол $AOB$ также центральный, опирающийся на дугу $AB$, поэтому $\angle AOB = 46^\circ$. Допущение: На рисунке, по всей видимости, опечатка. Вместо $\angle ACB$ должен быть $\angle ADB$ или $\angle АСВ$ должен быть $23^\circ$, но тогда дуга $АВ$ равна $46^\circ$ и центральный угол $\angle АОВ$ равен $46^\circ$. Поскольку в условии прописан $\angle АСВ = 23^\circ$ а по изображению точка $C$ не лежит на дуге $AB$, считаю, что речь идет об угле $\angle ADB$ или $\angle АСВ$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $АВ$. В связи с этим в условии дана другая информация, и я даю ответ по факту условия. 2. Углы $\angle AOC$ и $\angle AOD$ являются смежными, так как $CD$ является диаметром. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $$\angle AOC + \angle AOD = 180^\circ$$ 3. Поскольку $AC$ и $BD$ — диаметры, то $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные углы, а $\angle AOC$ и $\angle BOD$ — вертикальные углы. Вертикальные углы равны между собой. Таким образом $\angle AOD = \angle BOC$ и $\angle AOC = \angle BOD$. 4. Мы знаем, что $\angle ACB = 23^\circ$. Этот угол опирается на дугу $AB$. Центральный угол, опирающийся на дугу $AB$, это $\angle AOB$. 5. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, который опирается на ту же дугу. Значит $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ$. 6. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные, поэтому $\angle COD = \angle AOB = 46^\circ$. 7. Углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ являются смежными на прямой $BD$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. $$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$$ **Ответ:** $134^\circ$