Реши уравнение $\frac{2}{7}x = 2\frac{2}{7}$

Решаем уравнения: а) $\frac{2}{7}x = 2\frac{2}{7}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь: $$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{14 + 2}{7} = \frac{16}{7}$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{2}{7}x = \frac{16}{7}$$ Умножим обе части уравнения на 7: $$2x = 16$$ Разделим обе части на 2: $$x = \frac{16}{2}$$ $$x = 8$$ **Ответ: 8** б) $\frac{3}{5}y = 2\frac{9}{10} - \frac{1}{5}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь: $$2\frac{9}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 9}{10} = \frac{20 + 9}{10} = \frac{29}{10}$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{3}{5}y = \frac{29}{10} - \frac{1}{5}$$ Приведем дроби в правой части к общему знаменателю (10): $$\frac{29}{10} - \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{29}{10} - \frac{2}{10} = \frac{29 - 2}{10} = \frac{27}{10}$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{3}{5}y = \frac{27}{10}$$ Чтобы найти $y$, разделим правую часть на $\frac{3}{5}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{5}{3}$): $$y = \frac{27}{10} \div \frac{3}{5}$$ $$y = \frac{27}{10} \cdot \frac{5}{3}$$ Сократим дроби: $$y = \frac{\cancel{27}^{9}}{\cancel{10}^{2}} \cdot \frac{\cancel{5}^{1}}{\cancel{3}^{1}}$$ $$y = \frac{9}{2}$$ $$y = 4\frac{1}{2}$$ **Ответ: $4\frac{1}{2}$** в) $\frac{3}{7}a + \frac{2}{5} = 1$ Вычтем $\frac{2}{5}$ из обеих частей уравнения: $$\frac{3}{7}a = 1 - \frac{2}{5}$$ Представим 1 как дробь со знаменателем 5: $$1 = \frac{5}{5}$$ $$\frac{3}{7}a = \frac{5}{5} - \frac{2}{5}$$ $$\frac{3}{7}a = \frac{3}{5}$$ Чтобы найти $a$, разделим правую часть на $\frac{3}{7}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{7}{3}$): $$a = \frac{3}{5} \div \frac{3}{7}$$ $$a = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{3}$$ Сократим дроби: $$a = \frac{\cancel{3}^{1}}{5} \cdot \frac{7}{\cancel{3}^{1}}$$ $$a = \frac{7}{5}$$ $$a = 1\frac{2}{5}$$ **Ответ: $1\frac{2}{5}$** г) $3\frac{1}{3} : k = 1\frac{1}{3} : 2$ Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$$ $$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{10}{3} : k = \frac{4}{3} : 2$$ Вычислим правую часть: $$\frac{4}{3} : 2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cancel{4}^{2}}{3} \cdot \frac{1}{\cancel{2}^{1}} = \frac{2}{3}$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{10}{3} : k = \frac{2}{3}$$ Чтобы найти делитель $k$, нужно делимое разделить на частное: $$k = \frac{10}{3} : \frac{2}{3}$$ $$k = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2}$$ Сократим дроби: $$k = \frac{\cancel{10}^{5}}{\cancel{3}^{1}} \cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{2}^{1}}$$ $$k = 5$$ **Ответ: 5** д) $y : 1\frac{1}{2} = 2\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$ Уравнение принимает вид: $$y : \frac{3}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}$$ Вычислим правую часть: $$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9}$$ Уравнение принимает вид: $$y : \frac{3}{2} = \frac{7}{9}$$ Чтобы найти делимое $y$, нужно делитель умножить на частное: $$y = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{2}$$ Сократим дроби: $$y = \frac{7}{\cancel{9}^{3}} \cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{2}$$ $$y = \frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 2}$$ $$y = \frac{7}{6}$$ $$y = 1\frac{1}{6}$$ **Ответ: $1\frac{1}{6}$** е) $\frac{2}{7}x + \frac{3}{7}x = 2\frac{7}{14}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь и сократим дробную часть: $$2\frac{7}{14} = 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$ Сложим дроби с $x$ в левой части: $$\left(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\right)x = \frac{5}{7}x$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{5}{7}x = \frac{5}{2}$$ Чтобы найти $x$, разделим правую часть на $\frac{5}{7}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{7}{5}$): $$x = \frac{5}{2} \div \frac{5}{7}$$ $$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{5}$$ Сократим дроби: $$x = \frac{\cancel{5}^{1}}{2} \cdot \frac{7}{\cancel{5}^{1}}$$ $$x = \frac{7}{2}$$ $$x = 3\frac{1}{2}$$ **Ответ: $3\frac{1}{2}$** ж) $m + \frac{3}{8}m = \frac{1}{4}$ Представим $m$ как $1m = \frac{8}{8}m$: $$\frac{8}{8}m + \frac{3}{8}m = \frac{1}{4}$$ Сложим дроби с $m$ в левой части: $$\left(\frac{8}{8} + \frac{3}{8}\right)m = \frac{11}{8}m$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{11}{8}m = \frac{1}{4}$$ Чтобы найти $m$, разделим правую часть на $\frac{11}{8}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{8}{11}$): $$m = \frac{1}{4} \div \frac{11}{8}$$ $$m = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{11}$$ Сократим дроби: $$m = \frac{1}{\cancel{4}^{1}} \cdot \frac{\cancel{8}^{2}}{11}$$ $$m = \frac{2}{11}$$ **Ответ: $\frac{2}{11}$** з) $y - \frac{2}{9}y = 4\frac{2}{3}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь: $$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}$$ Представим $y$ как $1y = \frac{9}{9}y$: $$\frac{9}{9}y - \frac{2}{9}y = \frac{14}{3}$$ Вычтем дроби с $y$ в левой части: $$\left(\frac{9}{9} - \frac{2}{9}\right)y = \frac{7}{9}y$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{7}{9}y = \frac{14}{3}$$ Чтобы найти $y$, разделим правую часть на $\frac{7}{9}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{9}{7}$): $$y = \frac{14}{3} \div \frac{7}{9}$$ $$y = \frac{14}{3} \cdot \frac{9}{7}$$ Сократим дроби: $$y = \frac{\cancel{14}^{2}}{\cancel{3}^{1}} \cdot \frac{\cancel{9}^{3}}{\cancel{7}^{1}}$$ $$y = 2 \cdot 3$$ $$y = 6$$ **Ответ: 6** и) $\frac{2}{5}z + \frac{2}{3}z - \frac{7}{15}z = 2\frac{1}{2}$ Переведем смешанное число в неправильную дробь: $$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$ Приведем дроби с $z$ к общему знаменателю (15). Для $\frac{2}{5}z$ умножим числитель и знаменатель на 3, для $\frac{2}{3}z$ умножим на 5: $$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}z + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}z - \frac{7}{15}z = \frac{5}{2}$$ $$\frac{6}{15}z + \frac{10}{15}z - \frac{7}{15}z = \frac{5}{2}$$ Выполним действия с дробями в левой части: $$\left(\frac{6 + 10 - 7}{15}\right)z = \frac{5}{2}$$ $$\frac{9}{15}z = \frac{5}{2}$$ Сократим дробь $\frac{9}{15}$ на 3: $$\frac{3}{5}z = \frac{5}{2}$$ Чтобы найти $z$, разделим правую часть на $\frac{3}{5}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{5}{3}$): $$z = \frac{5}{2} \div \frac{3}{5}$$ $$z = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3}$$ $$z = \frac{25}{6}$$ $$z = 4\frac{1}{6}$$ **Ответ: $4\frac{1}{6}$** к) $3\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x + \frac{4}{7}\right) = 2\frac{1}{3}$ Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$$ $$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{7}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x + \frac{4}{7}\right) = \frac{7}{3}$$ Разделим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{2}{7}$): $$\frac{2}{3}x + \frac{4}{7} = \frac{7}{3} \div \frac{7}{2}$$ $$\frac{2}{3}x + \frac{4}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{7}$$ Сократим дроби в правой части: $$\frac{2}{3}x + \frac{4}{7} = \frac{\cancel{7}^{1}}{3} \cdot \frac{2}{\cancel{7}^{1}}$$ $$\frac{2}{3}x + \frac{4}{7} = \frac{2}{3}$$ Вычтем $\frac{4}{7}$ из обеих частей уравнения: $$\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} - \frac{4}{7}$$ Приведем дроби в правой части к общему знаменателю (21): $$\frac{2}{3}x = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3}$$ $$\frac{2}{3}x = \frac{14}{21} - \frac{12}{21}$$ $$\frac{2}{3}x = \frac{2}{21}$$ Чтобы найти $x$, разделим правую часть на $\frac{2}{3}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{3}{2}$): $$x = \frac{2}{21} \div \frac{2}{3}$$ $$x = \frac{2}{21} \cdot \frac{3}{2}$$ Сократим дроби: $$x = \frac{\cancel{2}^{1}}{\cancel{21}^{7}} \cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{2}^{1}}$$ $$x = \frac{1}{7}$$ **Ответ: $\frac{1}{7}$** л) $\left(\frac{5}{8}x - \frac{1}{5}\right) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ Разделим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$: $$\frac{5}{8}x - \frac{1}{5} = \frac{3}{4} \div \frac{3}{4}$$ $$\frac{5}{8}x - \frac{1}{5} = 1$$ Прибавим $\frac{1}{5}$ к обеим частям уравнения: $$\frac{5}{8}x = 1 + \frac{1}{5}$$ Представим 1 как дробь со знаменателем 5: $$\frac{5}{8}x = \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$$ $$\frac{5}{8}x = \frac{6}{5}$$ Чтобы найти $x$, разделим правую часть на $\frac{5}{8}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{8}{5}$): $$x = \frac{6}{5} \div \frac{5}{8}$$ $$x = \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{5}$$ $$x = \frac{48}{25}$$ $$x = 1\frac{23}{25}$$ **Ответ: $1\frac{23}{25}$** м) $\frac{3}{5}z + \frac{2}{3}z - 3 = \frac{4}{5}$ Приведем дроби с $z$ к общему знаменателю (15). Для $\frac{3}{5}z$ умножим числитель и знаменатель на 3, для $\frac{2}{3}z$ умножим на 5: $$\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}z + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}z - 3 = \frac{4}{5}$$ $$\frac{9}{15}z + \frac{10}{15}z - 3 = \frac{4}{5}$$ Сложим дроби с $z$ в левой части: $$\left(\frac{9 + 10}{15}\right)z - 3 = \frac{4}{5}$$ $$\frac{19}{15}z - 3 = \frac{4}{5}$$ Прибавим 3 к обеим частям уравнения: $$\frac{19}{15}z = \frac{4}{5} + 3$$ Представим 3 как дробь со знаменателем 5: $$\frac{19}{15}z = \frac{4}{5} + \frac{15}{5}$$ $$\frac{19}{15}z = \frac{19}{5}$$ Чтобы найти $z$, разделим правую часть на $\frac{19}{15}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{15}{19}$): $$z = \frac{19}{5} \div \frac{19}{15}$$ $$z = \frac{19}{5} \cdot \frac{15}{19}$$ Сократим дроби: $$z = \frac{\cancel{19}^{1}}{\cancel{5}^{1}} \cdot \frac{\cancel{15}^{3}}{\cancel{19}^{1}}$$ $$z = 3$$ **Ответ: 3**