В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Угол BAC=38°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

1. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Угол $BAC=38^\circ$. Найди угол $ABH$. Так как $BH$ — высота, то треугольник $ABH$ прямоугольный (угол $BHA=90^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Тогда в треугольнике $ABH$: $$\angle ABH = 180^\circ - \angle BHA - \angle BAH = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$$ **Ответ:** $52$ 2. В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $56^\circ$. Найди угол $ACD$. В ромбе противоположные углы равны, то есть $\angle ABC = \angle ADC = 56^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Значит, $\angle BAD = \angle BCD = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$. Диагонали ромба делят его углы пополам. Диагональ $AC$ делит угол $BCD$ пополам, поэтому: $$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ$$ **Ответ:** $62$ 3А. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$, $AC=32$. Найди медиану $BM$, если площадь треугольника $ABC$ равна $192$. Поскольку $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию $AC$, также является высотой. Значит, $BM \perp AC$. Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM$$ Нам известны $S = 192$ и $AC = 32$. Подставим эти значения в формулу: $$192 = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot BM$$ $$192 = 16 \cdot BM$$ $$BM = \frac{192}{16}$$ $$BM = 12$$ **Ответ:** $12$ 3Б. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$, $AC=32$. Найди сторону $AB$, если площадь треугольника $ABC$ равна $192$. Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$, проведенная к основанию $AC$, является также высотой. Из пункта 3А мы нашли, что $BM = 12$. В прямоугольном треугольнике $AMB$ ($BM$ — высота, значит $\angle BMA = 90^\circ$): $AM = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$ $$AB^2 = 16^2 + 12^2$$ $$AB^2 = 256 + 144$$ $$AB^2 = 400$$ $$AB = \sqrt{400}$$ $$AB = 20$$ **Ответ:** $20$ 4. Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO=12$, $AB=10$. Найди $AC$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AC = BD$. Так как $BO = 12$, то $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24$. Следовательно, $AC = BD = 24$. **Ответ:** $24$ 5. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найди длину её средней линии. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Посчитаем длины оснований по клеткам: Верхнее основание (a) = 2 клетки. Нижнее основание (b) = 6 клеток. Длина средней линии (m) = $\frac{a+b}{2}$. $$m = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ **Ответ:** $4$