Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах

1. Лемма о коллинеарных векторах: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0}$, то существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Доказательство: Если $\vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$, и лемма верна при $k=0$. Если $\vec{b} \neq \vec{0}$, то, так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Отложим эти векторы от одной точки. Возможны два случая: 1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Тогда отношение их длин равно некоторому положительному числу $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} > 0$. Следовательно, $\vec{b} = k\vec{a}$. 2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Тогда отношение их длин равно некоторому положительному числу $k' = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} > 0$. В этом случае $\vec{b} = -k'\vec{a}$. Обозначив $k = -k'$, получаем $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k < 0$. В обоих случаях существует число $k$, такое что $\vec{b} = k\vec{a}$. **Ответ:** Лемма и её доказательство приведены выше.