16. Угол $BDC$ — это вписанный угол, который опирается на дугу $BC$. Центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу $BC$.
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного угла.
$$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BDC $$
$$ \angle BOC = 2 \cdot 9^\circ $$
$$ \angle BOC = 18^\circ $$
**Ответ: $18^\circ$**
17. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.
В данном случае стороны равны 17 и 20.
$$ S = 17 \cdot 20 $$
$$ S = 340 $$
**Ответ: 340**
18. На рисунке 34 показан круг с центром в точке $O$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности, а точка $O$ находится в центре. Угол $AOB$ является центральным углом.
Из рисунка видно, что:
- Точка $A$ находится на 2 клетки вверх и 4 клетки влево от центра $O$.
- Точка $B$ находится на 2 клетки вниз и 4 клетки влево от центра $O$.
Это означает, что хорда $AB$ перпендикулярна радиусу, идущему к точке, которая находится посередине между $A$ и $B$. Точки $A$, $O$ и $B$ образуют равнобедренный треугольник $AOB$, так как $OA = OB$ (это радиусы).
Из рисунка видно, что линия, проходящая через $A$ и $O$, имеет наклон, а линия, проходящая через $B$ и $O$, имеет такой же наклон, но в другую сторону. Если мы проведем прямую через $A$ и $B$, то она будет вертикальной. Если мы проведем прямую через $O$ и середину отрезка $AB$, то эта прямая будет горизонтальной.
Отрезок $AO$ проходит через точки, например, $(0,0)$ и $(-4,2)$ (если $O$ в начале координат). Отрезок $BO$ проходит через точки $(0,0)$ и $(-4,-2)$.
Можно посчитать длины сторон треугольника $AOB$.
Пусть $O$ находится в точке $(0,0)$. Тогда $A$ находится в $(-4, 2)$, а $B$ в $(-4, -2)$.
Длина $OA = \sqrt{(-4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$
Длина $OB = \sqrt{(-4-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$
Длина $AB = \sqrt{(-4-(-4))^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$
Теперь можно применить теорему косинусов для треугольника $AOB$:
$$ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) $$
$$ 4^2 = (\sqrt{20})^2 + (\sqrt{20})^2 - 2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{20} \cdot \cos(\angle AOB) $$
$$ 16 = 20 + 20 - 2 \cdot 20 \cdot \cos(\angle AOB) $$
$$ 16 = 40 - 40 \cdot \cos(\angle AOB) $$
$$ 40 \cdot \cos(\angle AOB) = 40 - 16 $$
$$ 40 \cdot \cos(\angle AOB) = 24 $$
$$ \cos(\angle AOB) = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0.6 $$
Чтобы найти угол $AOB$, нужно взять арккосинус от 0.6.
$$ \angle AOB = \arccos(0.6) $$
Приближенное значение: $ \angle AOB \approx 53.13^\circ $
Если считать по клеткам, можно заметить, что точка $O$ находится на расстоянии 4 клеток от вертикальной линии, проходящей через $A$ и $B$. Расстояние от $A$ до $B$ равно 4 клеткам (2 клетки вверх от середины и 2 клетки вниз от середины).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $OA$, проекцией $OA$ на горизонтальную ось (4 клетки) и проекцией $OA$ на вертикальную ось (2 клетки).
Тангенс половины угла $AOB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и отрезком от центра до середины хорды.
Пусть $M$ — середина $AB$. $M$ имеет координаты $(-4,0)$.
В треугольнике $AOM$: $OM = 4$, $AM = 2$.
$$ \tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OM} = \frac{2}{4} = 0.5 $$
Тогда $\angle AOM = \arctan(0.5) \approx 26.565^\circ$.
Угол $AOB$ равен $2 \cdot \angle AOM$.
$$ \angle AOB = 2 \cdot \arctan(0.5) \approx 2 \cdot 26.565^\circ \approx 53.13^\circ $$
**Ответ: $53.13^\circ$ (или $ \arccos(0.6) $)**
