Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O. Угол MON равен 64°. Найдите угол OMP.

1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O. Угол MON равен $64^\circ$. Найдите угол OMP. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник MON равнобедренный ($MO = ON$). Углы при основании равнобедренного треугольника равны. $$\angle OMN = \angle ONM$$ Сумма углов треугольника $180^\circ$. $$\angle MON + \angle OMN + \angle ONM = 180^\circ$$ $$64^\circ + 2 \cdot \angle OMN = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle OMN = 180^\circ - 64^\circ$$ $$2 \cdot \angle OMN = 116^\circ$$ $$\angle OMN = 58^\circ$$ Так как MNKP прямоугольник, все его углы прямые ($90^\circ$). $$\angle NMP = 90^\circ$$ Угол OMP равен разности углов NMP и OMN. $$\angle OMP = \angle NMP - \angle OMN$$ $$\angle OMP = 90^\circ - 58^\circ$$ $$\angle OMP = 32^\circ$$ **Ответ: $32^\circ$** 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из её углов на $30^\circ$ больше второго. В равнобокой трапеции углы при основании равны. Также сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Пусть один угол равен $x$. Тогда другой угол $x + 30^\circ$. Так как это углы, прилежащие к одной боковой стороне, их сумма равна $180^\circ$. $$x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$$ $$2x + 30^\circ = 180^\circ$$ $$2x = 180^\circ - 30^\circ$$ $$2x = 150^\circ$$ $$x = 75^\circ$$ Тогда углы трапеции: Первый угол: $75^\circ$ Второй угол: $75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$ Так как трапеция равнобокая, у неё две пары равных углов: $75^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 105^\circ$. **Ответ: $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$** 3. Стороны параллелограмма относятся, как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. Пусть одна сторона параллелограмма равна $3x$, а смежная с ней сторона равна $x$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: $$P = 2 \cdot (a + b)$$ $$40 = 2 \cdot (3x + x)$$ $$40 = 2 \cdot (4x)$$ $$40 = 8x$$ $$x = 40 \div 8$$ $$x = 5$$ Тогда стороны параллелограмма равны: Одна сторона: $3x = 3 \cdot 5 = 15$ см Вторая сторона: $x = 5$ см **Ответ: 15 см, 5 см, 15 см, 5 см** 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна $48^\circ$. Найдите углы трапеции. В прямоугольной трапеции две стороны перпендикулярны основаниям, поэтому два угла равны $90^\circ$. Эти углы прилежат к одной из боковых сторон. Другая боковая сторона не перпендикулярна основаниям. Сумма углов, прилежащих к этой боковой стороне, равна $180^\circ$. Пусть эти углы $\alpha$ и $\beta$. $$\alpha + \beta = 180^\circ$$ По условию, их разность равна $48^\circ$: $$\alpha - \beta = 48^\circ$$ Имеем систему уравнений: $$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 48^\circ \end{cases}$$ Сложим оба уравнения: $$( \alpha + \beta ) + ( \alpha - \beta ) = 180^\circ + 48^\circ$$ $$2\alpha = 228^\circ$$ $$\alpha = 114^\circ$$ Подставим значение $\alpha$ в первое уравнение: $$114^\circ + \beta = 180^\circ$$ $$\beta = 180^\circ - 114^\circ$$ $$\beta = 66^\circ$$ Таким образом, углы трапеции: $90^\circ, 90^\circ, 114^\circ, 66^\circ$. **Ответ: $90^\circ, 90^\circ, 114^\circ, 66^\circ$** 5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол $30^\circ$, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM. Если точка M лежит на продолжении стороны AD. Допущение: Высота BM проведена к продолжению стороны AD. Если бы M лежала на стороне AD, то BM была бы высотой внутри ромба, а угол между высотой и стороной ромба не был бы $30^\circ$, если ромб не квадрат. Рассмотрим ромб ABCD. Все стороны ромба равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Высота BM проведена из вершины B к продолжению стороны AD. Значит, треугольник ABM — прямоугольный, с прямым углом при M ($BM \perp AM$). По условию, $\angle ABM = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике ABM: $$\angle BAM = 90^\circ - \angle ABM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$ Угол BAM является внешним углом для ромба, смежным с внутренним углом $\angle BAD$. $$\angle BAD = 180^\circ - \angle BAM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ Теперь рассмотрим треугольник ADC. Так как AD = CD (стороны ромба) и $\angle ADC = 120^\circ$ (противоположный угол $\angle ABC$ равен $120^\circ$, а $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$, то $\angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$). В треугольнике ABC: $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании AC: $$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) \div 2 = 60^\circ \div 2 = 30^\circ$$ Так как $\angle BAD = 120^\circ$, а $\angle BAC = 30^\circ$, то $\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник ADC. Он равнобедренный ($AD = CD$). $\angle DAC = 90^\circ$. Это значит, что треугольник ADC не может быть равнобедренным с углом $90^\circ$ при основании. Есть противоречие в задаче, так как если $\angle BAD = 120^\circ$, то $\angle ADC = 60^\circ$. Тогда в равнобедренном треугольнике ADC ($AD = CD$) углы при основании AC будут $\angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - 60^\circ) \div 2 = 60^\circ$. Это означает, что треугольник ADC равносторонний, и $AD = CD = AC = 6$ см. Если $AC = 6$ см, то сторона ромба $AB = AD = 6$ см. Возвращаемся к прямоугольному треугольнику ABM. $AB = 6$ см, $\angle ABM = 30^\circ$. Найдём AM, которая является катетом, противолежащим углу $\angle ABM = 30^\circ$. $$AM = AB \cdot \sin(\angle ABM)$$ $$AM = 6 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$AM = 6 \cdot \frac{1}{2}$$ $$AM = 3$$ см **Ответ: 3 см**