Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 8, AB = 9. Найдите AC.

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Значит, треугольник AOB — равнобедренный, и $AO = BO$. Так как $BO = 8$, то $AO = 8$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$. $AC = 2 imes AO = 2 imes 8 = 16$. Поскольку $AB=9$, а $AC=16$, то, чтобы проверить, является ли это прямоугольником, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC: $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 16^2 - 9^2 = 256 - 81 = 175$ $BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}$ **Ответ: AC = 16** 2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^{\circ}$. Если один угол ромба равен $62^{\circ}$, то больший угол будет $180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}$. **Ответ: $118^{\circ}$** 3. Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P = 2(a + b)$. Дано, что $P = 36$ см. $2(a + b) = 36 a + b = 18$. Одна сторона на 6 см меньше другой. Пусть $b = a - 6$. Подставим это в уравнение: $a + (a - 6) = 18$ $2a - 6 = 18$ $2a = 24$ $a = 12$ см. Тогда $b = a - 6 = 12 - 6 = 6$ см. Стороны прямоугольника: 12 см и 6 см. **Ответ: 12 см и 6 см** 4. Диагонали ромба MNPK пересекаются в точке O. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу. Угол M равен $160^{\circ}$. В ромбе противоположные углы равны, значит $\angle M = \angle P = 160^{\circ}$ и $\angle N = \angle K$. Сумма всех углов ромба $360^{\circ}$. Тогда $\angle N + \angle K = 360^{\circ} - 160^{\circ} - 160^{\circ} = 40^{\circ}$. $\angle N = \angle K = 40^{\circ} / 2 = 20^{\circ}$. В треугольнике POK: Диагональ MP делит угол M пополам, значит $\angle KPO = \angle MPK / 2 = 160^{\circ} / 2 = 80^{\circ}$. (Это неверно, потому что M и P противоположные углы) Давайте пересчитаем углы ромба. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Если $\angle M = 160^{\circ}$, то $\angle N = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$. В ромбе MNPK: $\angle M = \angle P = 160^{\circ}$ $\angle N = \angle K = 20^{\circ}$ Диагонали ромба делят его углы пополам. Рассмотрим треугольник POK. Диагональ PK делит угол K пополам, значит $\angle PKO = \angle K / 2 = 20^{\circ} / 2 = 10^{\circ}$. Диагональ MP делит угол P пополам, значит $\angle OPK = \angle P / 2 = 160^{\circ} / 2 = 80^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике POK равна $180^{\circ}$. $\angle POK + \angle PKO + \angle OPK = 180^{\circ}$ $\angle POK + 10^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$ $\angle POK + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ $\angle POK = 90^{\circ}$. Это также подтверждает свойство, что диагонали ромба перпендикулярны. Углы треугольника POK: $10^{\circ}$, $80^{\circ}$, $90^{\circ}$. **Ответ: Углы треугольника POK: $10^{\circ}$, $80^{\circ}$, $90^{\circ}$**