Найти x

1) Так как две стороны треугольника равны (обозначено чёрточками), то это равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол $A$ равен $70^{\circ}$, значит и угол $C$ (обозначенный как $x$) равен $70^{\circ}$. **Ответ:** $x = 70$ 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при вершине равен $38^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Значит, сумма двух других углов равна $180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$. Так как эти углы равны, каждый из них будет $142^{\circ} / 2 = 71^{\circ}$. Угол $x$ является внешним углом по отношению к одному из углов при основании. Внешний угол равен $180^{\circ} - 71^{\circ} = 109^{\circ}$. **Ответ:** $x = 109$ 3) Треугольник равнобедренный, так как две стороны равны. Внешний угол равен $140^{\circ}$. Тогда внутренний угол треугольника, смежный с ним, равен $180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Значит, угол, обозначенный как $x$, тоже равен $40^{\circ}$. **Ответ:** $x = 40$ 4) Так как две стороны треугольника равны, это равнобедренный треугольник. Угол $x$ является углом при основании. Внутренний угол треугольника, смежный с углом $63^{\circ}$, равен $180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ}$. Этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника. Сумма углов при основании равна $180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$. Тогда каждый из углов при основании равен $63^{\circ} / 2 = 31.5^{\circ}$. **Ответ:** $x = 31.5$ 5) Треугольник равнобедренный, так как две стороны равны. Угол при основании равен $54^{\circ}$. Значит, и второй угол при основании тоже $54^{\circ}$. Угол $x$ является внешним углом, смежным с одним из углов при основании. Поэтому $x = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ}$. **Ответ:** $x = 126$ 6) Рассмотрим два треугольника. Верхний треугольник равнобедренный, так как две его стороны равны. Угол при вершине равен $70^{\circ}$. Тогда углы при основании равны $(180^{\circ} - 70^{\circ}) / 2 = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ}$. Угол, смежный с одним из этих углов, равен $180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$. Это внешний угол нижнего равнобедренного треугольника. Так как нижний треугольник равнобедренный, то углы при основании равны $x$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит $125^{\circ} = x + x$, то есть $2x = 125^{\circ}$, откуда $x = 125^{\circ} / 2 = 62.5^{\circ}$. **Ответ:** $x = 62.5$ 7) Рассмотрим два равнобедренных треугольника, которые пересекаются. У верхнего треугольника угол при основании равен $51^{\circ}$. Значит, второй угол при основании тоже $51^{\circ}$. Тогда угол при вершине равен $180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$. Угол, смежный с ним, равен $180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$. Вертикальный угол к $78^{\circ}$ тоже $78^{\circ}$. В нижнем равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Один из углов при основании равен $x$. Угол при вершине равен $78^{\circ}$. Тогда $2x = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$, откуда $x = 102^{\circ} / 2 = 51^{\circ}$. **Ответ:** $x = 51$ 8) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Один угол при основании равен $68^{\circ}$, значит, и второй угол при основании тоже $68^{\circ}$. Угол $x$ является внешним углом, смежным с углом при вершине. Угол при вершине равен $180^{\circ} - (68^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 136^{\circ} = 44^{\circ}$. Тогда $x = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **Ответ:** $x = 136$ 9) Треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Один из углов при основании равен $x$. Внешний угол равен $57^{\circ}$. Тогда внутренний угол, смежный с ним, равен $180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ}$. Это угол при вершине равнобедренного треугольника. Тогда $2x = 180^{\circ} - 123^{\circ} = 57^{\circ}$, откуда $x = 57^{\circ} / 2 = 28.5^{\circ}$. **Ответ:** $x = 28.5$ 10) Рассмотрим большой треугольник. Его две стороны равны. Значит, он равнобедренный. Угол при основании равен $35^{\circ}$ (вертикальный угол). Тогда угол при другом основании (обозначенный как $x$) тоже равен $35^{\circ}$. **Ответ:** $x = 35$ 11) На рисунке изображен равнобедренный треугольник, в котором проведена биссектриса. Биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Угол при вершине разделен пополам, и один из получившихся углов равен $x$. Так как две боковые стороны равны, то угол при основании, обозначенный дугой, является общим для двух маленьких треугольников. В маленьком равнобедренном треугольнике, образованном биссектрисой, две стороны равны. Угол при вершине разделен пополам. Угол при основании равен $x$. Угол, обозначенный одной дугой, равен $x$. Это значит, что угол при вершине в маленьком треугольнике равен $180^{\circ} - 2x$. Угол при основании большого треугольника равен углу $x$ в маленьком треугольнике. Если угол при вершине большого треугольника обозначен двумя дугами, то эти два угла равны. Из рисунка видно, что малый треугольник является равнобедренным (две стороны с одной чёрточкой). Угол при основании малого треугольника равен $x$. Угол, обозначенный одной дугой, также является углом при основании этого малого треугольника. Значит, эти два угла равны $x$. Внешний угол к малому треугольнику равен $2x$. Этот внешний угол является углом при основании среднего треугольника. В среднем треугольнике две стороны равны (обозначено одной чёрточкой), значит он равнобедренный. Углы при его основании равны $2x$. Угол, обозначенный двумя дугами, является углом при вершине среднего треугольника. В большом треугольнике две стороны равны (обозначены двумя чёрточками). Углы при основании большого треугольника равны. Угол при основании большого треугольника равен углу при основании среднего треугольника, то есть $2x$. Тогда угол при вершине большого треугольника равен $180^{\circ} - 2(2x) = 180^{\circ} - 4x$. Угол, обозначенный двумя дугами, разделен на две части, одна из которых $x$. Так как биссектриса делит угол пополам, то $x = 180^{\circ} - 4x$. $5x = 180^{\circ}$, $x = 36^{\circ}$. **Ответ:** $x = 36$ 12) Рассмотрим два треугольника. Верхний треугольник равнобедренный, две его стороны равны. Угол при вершине равен $63^{\circ}$. Тогда углы при основании равны $(180^{\circ} - 63^{\circ}) / 2 = 117^{\circ} / 2 = 58.5^{\circ}$. Угол $x$ является внешним углом для нижнего равнобедренного треугольника. Внутренний угол верхнего треугольника, смежный с $x$, равен $58.5^{\circ}$. Угол, смежный с $x$, равен $180^{\circ} - x$. Нижний треугольник равнобедренный, так как две его стороны равны. Значит, углы при основании равны. Угол $x$ является внешним углом к одному из углов при основании верхнего равнобедренного треугольника. Внутренний угол верхнего равнобедренного треугольника при основании равен $(180^{\circ}-63^{\circ})/2 = 58.5^{\circ}$. Угол, смежный с этим углом, будет $180^{\circ} - 58.5^{\circ} = 121.5^{\circ}$. Этот угол является одним из углов нижнего равнобедренного треугольника. Угол $x$ является одним из углов при основании нижнего равнобедренного треугольника. Если стороны равны, то углы при основании равны $x$. Угол, вертикальный к $63^{\circ}$, равен $63^{\circ}$. В нижнем треугольнике есть две равные стороны, и угол между ними равен $63^{\circ}$. Тогда углы при основании равны $(180^{\circ} - 63^{\circ}) / 2 = 58.5^{\circ}$. Угол $x$ - это один из углов при основании. **Ответ:** $x = 58.5$ 13) Треугольник разделен на два маленьких треугольника. В правом треугольнике два угла по $51^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$, значит третий угол равен $180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$. Этот треугольник равнобедренный, так как два угла равны. Значит, стороны, лежащие напротив этих углов, тоже равны. Сторона, которая отмечена двумя чёрточками, равна стороне, которая обозначена двумя чёрточками в левом треугольнике. То есть высота в правом треугольнике равна стороне в левом. В левом треугольнике две стороны равны. Угол $51^{\circ}$ в левом треугольнике является углом при основании. Значит, другой угол при основании тоже $51^{\circ}$. В правом треугольнике стороны, лежащие напротив углов $51^{\circ}$, равны. Это высота и сторона $x$. Значит, $x = 6$ см. **Ответ:** $x = 6$ 14) На рисунке есть два треугольника. Верхний треугольник равнобедренный, так как две его стороны равны. В нем проведена высота. Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что она делит основание пополам. Длина основания равна $11$ см. Значит, половина основания равна $11/2 = 5.5$ см. В нижнем треугольнике, который образован высотой, углы $x$ и $90^{\circ}$. Сторона, отмеченная чёрточкой, равна стороне, которая отмечена чёрточкой в верхнем треугольнике. Это неверно. Верхний треугольник равнобедренный, значит, две его равные стороны отмечены чёрточками. Высота опущена на третью сторону. Она делит эту сторону пополам. Правый маленький прямоугольный треугольник имеет гипотенузу, равную одной из равных сторон большого равнобедренного треугольника. Другой катет равен $11$ см. Угол $x$ - это угол в другом прямоугольном треугольнике. Одна из сторон равна $11$ см. Угол $x$ находится в прямоугольном треугольнике. Катет, прилежащий к углу $x$, равен $11$ см. Гипотенуза равна стороне с одной чёрточкой. Если верхний треугольник равнобедренный, а высота проведена к основанию, то она делит основание пополам. Значит, $11$ см — это катет. Угол $x$ — это угол в правом прямоугольном треугольнике. В правом прямоугольном треугольнике катет равен $11$ см. Гипотенуза равна стороне, отмеченной одной чертой. Угол $x$ — это угол при вершине. Это неверно. Похоже, что верхняя черточка означает, что это две равные стороны в большом треугольнике. Если это так, то это равнобедренный треугольник. Из вершины к основанию проведена медиана, которая также является высотой, и делит основание на две равные части. Значит, правая часть основания равна $x$. Если весь отрезок равен $11$ см, то $x = 11 / 2 = 5.5$ см. **Ответ:** $x = 5.5$ 15) На рисунке изображен треугольник, разделенный на два меньших треугольника. Известно, что две стороны равны по 2 см. Также есть угол $21^{\circ}$. Сторона, обозначенная $x$, является основанием одного из треугольников. Рассмотрим верхний маленький треугольник. Две его стороны равны (обозначены двумя чёрточками). Это равнобедренный треугольник. Угол при вершине равен $21^{\circ}$. Тогда углы при основании равны $(180^{\circ} - 21^{\circ}) / 2 = 159^{\circ} / 2 = 79.5^{\circ}$. Внешний угол к одному из этих углов равен $180^{\circ} - 79.5^{\circ} = 100.5^{\circ}$. Нижний треугольник также равнобедренный (две стороны с одной чёрточкой). Стороны по 2 см. Угол $21^{\circ}$ в верхнем треугольнике. В верхнем треугольнике две стороны равны. Значит, углы при основании равны. Один из углов при основании обозначен $x$. Значит, и другой угол при основании $x$. Угол при вершине равен $21^{\circ}$. $2x + 21^{\circ} = 180^{\circ}$, $2x = 159^{\circ}$, $x = 79.5^{\circ}$. **Ответ:** $x = 79.5$