Решите систему уравнений: a) {x + y = 8, xy = -20;

а) Система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$. Подставим во второе уравнение: $$x(8 - x) = -20$$ $$8x - x^2 = -20$$ $$x^2 - 8x - 20 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Если $x_1 = 10$, то $y_1 = 8 - 10 = -2$. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 8 - (-2) = 10$. **Ответ: (10; -2), (-2; 10)** б) Система уравнений: $$\begin{cases} x - y = 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 0,8$. Подставим во второе уравнение: $$(y + 0,8)y = 2,4$$ $$y^2 + 0,8y = 2,4$$ $$y^2 + 0,8y - 2,4 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (0,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,4) = 0,64 + 9,6 = 10,24$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{10,24} = 3,2$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0,8 + 3,2}{2} = \frac{2,4}{2} = 1,2$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0,8 - 3,2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Если $y_1 = 1,2$, то $x_1 = 1,2 + 0,8 = 2$. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 0,8 = -1,2$. **Ответ: (2; 1,2), (-1,2; -2)** в) Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 4 \end{cases}$$ Разложим первое уравнение по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 8$. Подставим второе уравнение в первое: $$4(x + y) = 8$$ $$x + y = 2$$ Теперь у нас есть новая система: $$\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases}$$ Сложим оба уравнения: $$(x + y) + (x - y) = 2 + 4$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$ Подставим $x = 3$ в уравнение $x + y = 2$: $$3 + y = 2$$ $$y = 2 - 3$$ $$y = -1$$ **Ответ: (3; -1)** г) Система уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = -3 - x$. Подставим в первое уравнение: $$x^2 + (-3 - x)^2 = 5$$ $$x^2 + (9 + 6x + x^2) = 5$$ $$2x^2 + 6x + 9 - 5 = 0$$ $$2x^2 + 6x + 4 = 0$$ Разделим все на 2: $$x^2 + 3x + 2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Если $x_1 = -1$, то $y_1 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$. **Ответ: (-1; -2), (-2; -1)**