Докажите, что $MK \perp BC$. Найдите расстояние от концов отрезка $AD$ до прямой $BC$.

1. Чтобы доказать, что $MK \perp BC$, нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах. * Прямая $AK$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, значит, $AK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $BC$. То есть, $AK \perp BC$. * Точка $M$ — середина стороны $BC$ в правильном треугольнике $ABC$. В правильном треугольнике медиана является и высотой, поэтому $AM \perp BC$. Так как $AM$ — проекция $MK$ на плоскость $ABC$, и $AM \perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $MK \perp BC$. 2. Расстояние от концов отрезка $AD$ до прямой $BC$. * Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$: В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC=5$ см, $BC=6$ см) высота $AH$ (где $H$ — середина $BC$) будет перпендикулярна $BC$. $BH = HC = BC/2 = 6/2 = 3$ см. По теореме Пифагора в $\triangle AHB$: $AH^2 + BH^2 = AB^2 \Rightarrow AH^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow AH^2 + 9 = 25 \Rightarrow AH^2 = 16 \Rightarrow AH = 4$ см. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно $AH = 4$ см. * Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$: Так как $AD$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то $AD$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $BC$. Рассмотрим плоскость, проходящую через $AD$ и $BC$. Если $H$ — основание перпендикуляра из $A$ на $BC$, то $DH$ будет перпендикуляром из $D$ на $BC$. В прямоугольном треугольнике $ADH$: $DH^2 = AD^2 + AH^2 \Rightarrow DH^2 = 12^2 + 4^2 \Rightarrow DH^2 = 144 + 16 \Rightarrow DH^2 = 160 \Rightarrow DH = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см. **Ответ:** 1. Доказано, что $MK \perp BC$. 2. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно $4$ см. Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см.