Решите уравнение $\sqrt{28 + 2x} = x + 2$

Для решения этого уравнения сначала нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, и правая часть уравнения тоже была неотрицательной. Потом можно возводить обе части в квадрат. 1. Ограничения: $$28 + 2x \ge 0 \implies 2x \ge -28 \implies x \ge -14$$ $$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$$ Значит, $x$ должен быть не меньше $-2$. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{28 + 2x})^2 = (x + 2)^2$$ $$28 + 2x = x^2 + 4x + 4$$ 3. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 4x - 2x + 4 - 28 = 0$$ $$x^2 + 2x - 24 = 0$$ 4. Решаем квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-24$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ 5. Проверяем корни с учётом ограничений ($x \ge -2$): - Для $x_1 = 4$: $4 \ge -2$ – это верно. Значит, $x_1 = 4$ является решением. - Для $x_2 = -6$: $-6 \ge -2$ – это неверно. Значит, $x_2 = -6$ не является решением. **Ответ:** $x = 4$