В параллелограмме KMPT диагональ MT перпендикулярна стороне MK. KM = 13 см, MT = 5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высоты, если MP = 14 см.

3. Дано: параллелограмм KMPT, диагональ MT перпендикулярна стороне MK. KM = 13 см, MT = 5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высоты, если MP = 14 см. Поскольку диагональ MT перпендикулярна стороне MK, это значит, что $\triangle KMT$ — прямоугольный треугольник. Найдем площадь $\triangle KMT$: $$S_{\triangle KMT} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot MT = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5 = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ см}^2$$ Площадь параллелограмма KMPT в два раза больше площади треугольника KMT, так как диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. $$S_{KMPT} = 2 \cdot S_{\triangle KMT} = 2 \cdot 32.5 = 65 \text{ см}^2$$ Теперь найдем высоты параллелограмма. Высота $h_1$ (MT) к стороне MK уже известна: $MT = 5$ см. Для нахождения второй высоты $h_2$ к стороне MP (которая равна KM, так как это параллелограмм, $MP = KM = 14$ см), воспользуемся формулой площади параллелограмма: $$S = a \cdot h$$ где $a$ — сторона, к которой проведена высота $h$. $h_1 = MT = 5$ см (это высота к стороне $MK=13$ см). Чтобы найти вторую высоту ($h_2$), которая проведена к стороне $MP = 14$ см: $$S = MP \cdot h_2$$ $$65 = 14 \cdot h_2$$ $$h_2 = \frac{65}{14} \text{ см}$$ **Ответ:** Площадь параллелограмма: $65 \text{ см}^2$ Высоты параллелограмма: $5 \text{ см}$ и $\frac{65}{14} \text{ см}$. 4. В $\triangle KMP$ высота MB делит сторону KP на отрезки 6 см и 8 см, $\angle MKP = 45^\circ$. Найдите площадь $\triangle KMP$. **Допущение:** Поскольку MB — высота, то она перпендикулярна стороне KP. Значит, $\triangle KMB$ — прямоугольный. Отрезки 6 см и 8 см, скорее всего, это отрезки, на которые делится сторона KP, то есть $KB = 6$ см и $BP = 8$ см (или наоборот). Рассмотрим $\triangle KMB$. У нас есть угол $\angle MKP = 45^\circ$, который является углом $\angle MKB$ в $\triangle KMB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle KMB$ с $\angle KBM = 90^\circ$ и $\angle MKB = 45^\circ$, второй острый угол $\angle KMB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, $\triangle KMB$ — равнобедренный, и $MB = KB = 6$ см. Теперь мы можем найти площадь $\triangle KMP$. Основание $KP = KB + BP = 6 + 8 = 14$ см. Высота к этому основанию — $MB = 6$ см. $$S_{\triangle KMP} = \frac{1}{2} \cdot KP \cdot MB$$ $$S_{\triangle KMP} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6$$ $$S_{\triangle KMP} = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Площадь $\triangle KMP$ равна $42 \text{ см}^2$.