5. (2 балла) Найдите производную функции:

Привет! Давай разберем задачи из твоего списка по порядку. ### 5. Производные 1) Для $f(x) = 2x - 3x^5 - 4$: $f'(x) = 2 - 3 \cdot 5x^4 - 0 = 2 - 15x^4$. 2) Для $f(x) = \frac{x^3}{\sin x}$ (используем правило производной частного $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$): $f'(x) = \frac{(x^3)' \cdot \sin x - x^3 \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{3x^2 \sin x - x^3 \cos x}{\sin^2 x}$. ### 6. Первообразные 1) Для $f(x) = -4x^3 + \frac{2}{x} + 1$: $F(x) = -4 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \ln |x| + x + C = -x^4 + 2 \ln |x| + x + C$. 2) Для $f(x) = -2e^x - \sin x$: $F(x) = -2e^x + \cos x + C$. ### 7. Задача на тариф У Лизы 700 рублей. В день снимают 16 рублей. Количество дней равно $700 : 16 = 43,75$. Так как деньги снимают вечером, она сможет полноценно пользоваться телефоном в течение 43 полных дней (на 44-й день утром баланса уже не хватит). Но если вопрос «сколько дней она сможет пользоваться», то ответ — 43 дня (на 44-й день утром номер будет заблокирован). **Ответ: 43.** ### 8. Пирамида Правильная треугольная пирамида. Боковое ребро $b = 10$, сторона основания $a = 12$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$. Апофема боковой грани $l$: в грани — равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10, 12. Высота грани (апофема) по теореме Пифагора: $l = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l) = 3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8) = 3 \cdot 48 = 144$. Полная поверхность $S = 36\sqrt{3} + 144$. ### 9. Цилиндр Радиус $R=8$. Прямая проходит через середину оси (пусть это точка $O'$). Эта прямая пересекает плоскость нижнего основания на расстоянии 12 от центра (пусть это точка $A$). Тогда в сечении, проходящем через ось и эту прямую, мы видим прямоугольный треугольник, где один катет — расстояние от центра до $A$ ($r_A = 12$), другой катет — высота цилиндра $H$, а гипотенуза — отрезок до пересечения с образующей. Так как прямая пересекает образующую на расстоянии 2 от плоскости нижнего основания, это означает, что на высоте 2 от основания прямая удалена от оси на расстояние $R=8$. Используем подобие треугольников (или уравнение прямой в сечении): $H = 12 \cdot \frac{2}{12-8} = 12 \cdot \frac{2}{4} = 6$. **Ответ: 6 см.** ### 10. Система уравнений Задание неполное (видны только части уравнений). ### 11. Площадь фигуры $f(x) = 2x - x^2$. Корни уравнения $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$. Площадь $S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **Ответ: 1,33.**