В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион – 3; цирк и стадион – 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

**Задача 1.** 1. Найдём сколько учеников посетили хотя бы одно место: $$19 - 3 = 16$$ 2. Найдём, сколько учеников посетили только планетарий: $$10 - (5 + 3 + 1 - (2 \times 1)) = 10 - (5 + 3 + 1 - 2) = 10 - 7 = 3$$ 3. Найдём, сколько учеников посетили только цирк: $$6 - (5 + 1 + 3 - (2 \times 1)) = 6 - (5 + 1 + 3 - 2) = 6 - 7 = -1$$ **Допущение: в условии задачи есть ошибка, так как количество учеников, посетивших только цирк, получилось отрицательным, что невозможно.** **Задача 2.** 1. Количество ребят, умеющих кататься на сноуборде ($С$), скейтборде ($К$) и роликах ($Р$). 2. Всего ребят: 100. 3. Известно: * $С = 30$ * $К = 28$ * $Р = 42$ * $К \cap С = 8$ * $К \cap Р = 10$ * $С \cap Р = 5$ * $К \cap С \cap Р = 3$ Используем формулу включений-исключений для трёх множеств: $$|C \cup K \cup P| = |C| + |K| + |P| - (|C \cap K| + |C \cap P| + |K \cap P|) + |C \cap K \cap P|$$ $$|C \cup K \cup P| = 30 + 28 + 42 - (8 + 5 + 10) + 3$$ $$|C \cup K \cup P| = 100 - 23 + 3$$ $$|C \cup K \cup P| = 80$$ Это количество ребят, умеющих кататься хотя бы на одном виде транспорта. Чтобы найти тех, кто не умеет кататься ни на чём, вычтем это из общего числа ребят: $$100 - 80 = 20$$ **Ответ: 20** **Задача 3.** **Допущение: в задании некорректно сформулирован вопрос. Количество биологов, увлекающихся математикой, можно узнать только при условии, что часть биологов посещает математический кружок.** Если имеется в виду, сколько человек занимаются только математикой, то: Всего учеников: 35. Посещают математический кружок: 20. Посещают биологический кружок: 11. Не посещают никаких кружков: 10. Количество учеников, которые посещают хотя бы один кружок: $$35 - 10 = 25$$ Количество учеников, которые посещают оба кружка (математический и биологический): $$(20 + 11) - 25 = 31 - 25 = 6$$ Если вопрос о том, сколько биологов увлекается математикой, то это 6 человек. **Ответ: 6** **Задача 4.** 1. Всего человек в классе: 40. 2. Играют в баскетбол ($Б$): 26 человек. 3. Занимаются плаванием ($П$): 25 человек. 4. Ходят на лыжах ($Л$): 27 человек. Одновременно: * Плавание и баскетбол ($П \cap Б$): 15 * Баскетбол и лыжи ($Б \cap Л$): 16 * Плавание и лыжи ($П \cap Л$): 18 Один человек освобождён от занятий по физкультуре. Значит, занимаются спортом: $$40 - 1 = 39$$ Используем формулу включений-исключений для трёх множеств: $$|Б \cup П \cup Л| = |Б| + |П| + |Л| - (|Б \cap П| + |Б \cap Л| + |П \cap Л|) + |Б \cap П \cap Л|$$ $$39 = 26 + 25 + 27 - (15 + 16 + 18) + |Б \cap П \cap Л|$$ $$39 = 78 - 49 + |Б \cap П \cap Л|$$ $$39 = 29 + |Б \cap П \cap Л|$$ $$|Б \cap П \cap Л| = 39 - 29$$ $$|Б \cap П \cap Л| = 10$$ Значит, 10 человек занимаются всеми тремя видами спорта. Теперь найдём количество человек, занимающихся только одним видом спорта. Только баскетбол: $$26 - (15 - 10) - (16 - 10) - 10 = 26 - 5 - 6 - 10 = 5$$ Только плавание: $$25 - (15 - 10) - (18 - 10) - 10 = 25 - 5 - 8 - 10 = 2$$ Только лыжи: $$27 - (16 - 10) - (18 - 10) - 10 = 27 - 6 - 8 - 10 = 3$$ Всего занимаются только одним видом спорта: $$5 + 2 + 3 = 10$$ **Ответ:** * Занимаются всеми указанными видами спорта: **10 человек**. * Занимаются только в одной спортивной секции: **10 человек**. **Задача 5.** Это может быть, если один и тот же человек является и охотником, и рыбаком. Если 6 охотников и 9 рыбаков, а всего 10 человек, то: Охотников, которые также являются рыбаками: $$(6 + 9) - 10 = 15 - 10 = 5$$ Значит, 5 человек являются одновременно и охотниками, и рыбаками. **Ответ: 5 человек являются одновременно и охотниками, и рыбаками.**