Решите систему уравнений: $x^2 + xy + y^2 = 7$, $y + 2x = 1$.

Нам нужно решить систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ y + 2x = 1 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $$y = 1 - 2x$$ Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$$ Раскроем скобки: $$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$$ Приведем подобные члены: $$3x^2 - 3x + 1 = 7$$ Перенесем 7 в левую часть: $$3x^2 - 3x - 6 = 0$$ Разделим все уравнение на 3: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, а для корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В нашем уравнении $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$. Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ Теперь найдем корни $x$: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$. Для $x_1 = 2$: $$y_1 = 1 - 2x_1 = 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3$$ Для $x_2 = -1$: $$y_2 = 1 - 2x_2 = 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$$ **Ответ:** $(\textbf{2}; \textbf{-3})$ и $(\textbf{-1}; \textbf{3})$