Найти $\sin \angle ABC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$, если катет $AC = 8$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна $2\sqrt{15}$.

1. У нас есть прямоугольный треугольник $ABC$, в котором катет $AC = 8$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна $2\sqrt{15}$. Нужно найти $\sin \angle ABC$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В нём $CH = 2\sqrt{15}$ и $AC = 8$. Мы можем найти $\sin \angle CAH$ (или $\sin \angle CAB$) из этого треугольника: $$\sin \angle CAB = \frac{CH}{AC} = \frac{2\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$ 3. Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник $ABC$. В нём $\sin \angle ABC$ можно найти как отношение противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $BC$. Но гипотенузу $BC$ мы пока не знаем. Зато мы знаем $\sin \angle CAB$. 4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Значит, $\angle ABC + \angle CAB = 90^\circ$. Отсюда $\sin \angle ABC = \cos \angle CAB$. 5. Мы знаем $\sin \angle CAB = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\cos \angle CAB$: $$\sin^2 \angle CAB + \cos^2 \angle CAB = 1$$ $$\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 + \cos^2 \angle CAB = 1$$ $$\frac{15}{16} + \cos^2 \angle CAB = 1$$ $$\cos^2 \angle CAB = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$$ $$\cos \angle CAB = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$$ (угол $CAB$ острый, поэтому косинус положительный) 6. Так как $\sin \angle ABC = \cos \angle CAB$, то: $$\sin \angle ABC = \frac{1}{4}$$ **Ответ:** $\frac{1}{4}$