Реши уравнение $2\sin 2x - 3\cos^2 x + \sin x \cos x = 0$

Реши уравнение: $$2\sin 2x - 3\cos^2 x + \sin x \cos x = 0$$ Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Подставляем в уравнение: $$2(2\sin x \cos x) - 3\cos^2 x + \sin x \cos x = 0$$ $$4\sin x \cos x - 3\cos^2 x + \sin x \cos x = 0$$ Приводим подобные члены: $$5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$$ Выносим $\cos x$ за скобки: $$\cos x (5\sin x - 3\cos x) = 0$$ Получаем два случая: 1. $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2. $5\sin x - 3\cos x = 0$ Разделим обе части на $\cos x$. Предполагаем, что $\cos x \neq 0$. Если бы $\cos x = 0$, то из первого случая мы бы получили, что $\sin x = \pm 1$. Подставив $\cos x = 0$ в это уравнение, мы получим $5\sin x - 0 = 0 \implies \sin x = 0$, что противоречит $\sin x = \pm 1$. Значит, $\cos x \neq 0$ для этого случая. $$5\frac{\sin x}{\cos x} - 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0$$ $$5\tan x - 3 = 0$$ $$5\tan x = 3$$ $$\tan x = \frac{3}{5}$$ $$x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$