Реши уравнение $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$

1) Реши уравнение: $$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$$ Перенесём все члены, кроме корня, в правую часть: $$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3x - x^2 + 7$$ Для удобства введём замену: $y = x^2 - 3x + 5$. Тогда $3x - x^2 + 7 = -(x^2 - 3x + 5) + 5 + 7 = -y + 12$. Заменим: $$\sqrt{y} = -y + 12$$ Возводим обе части в квадрат. При этом нужно учесть, что правая часть $-y + 12$ должна быть неотрицательной, так как она равна корню, который всегда неотрицателен: $$-y + 12 \ge 0 \Rightarrow y \le 12$$ Также подкоренное выражение $y$ должно быть неотрицательным: $$y \ge 0$$ Теперь возведём в квадрат: $$y = (-y + 12)^2$$ $$y = y^2 - 24y + 144$$ $$y^2 - 25y + 144 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $y$: $$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$$ $$y_1 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ Проверим условия $0 \le y \le 12$: Для $y_1 = 9$: $0 \le 9 \le 12$ — подходит. Для $y_2 = 16$: $0 \le 16 \not\le 12$ — не подходит. Значит, подходит только $y = 9$. Теперь подставим $y = 9$ обратно в замену $y = x^2 - 3x + 5$: $$x^2 - 3x + 5 = 9$$ $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ Решим это квадратное уравнение относительно $x$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Проверим найденные корни $x_1=-1$ и $x_2=4$ в исходном уравнении или в уравнении $\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3x - x^2 + 7$. Для $x=-1$: $\sqrt{(-1)^2 - 3(-1) + 5} = \sqrt{1 + 3 + 5} = \sqrt{9} = 3$ $3(-1) - (-1)^2 + 7 = -3 - 1 + 7 = 3$ Левая часть равна правой части $3=3$, значит $x=-1$ — корень. Для $x=4$: $\sqrt{(4)^2 - 3(4) + 5} = \sqrt{16 - 12 + 5} = \sqrt{9} = 3$ $3(4) - (4)^2 + 7 = 12 - 16 + 7 = 3$ Левая часть равна правой части $3=3$, значит $x=4$ — корень. **Ответ:** $x_1 = -1$, $x_2 = 4$