Найди неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 114 градусам.

**65. Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:** При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Сумма всех четырёх углов равна $360^\circ$. Углы, которые находятся напротив друг друга (вертикальные углы), равны. Углы, которые находятся рядом и образуют прямую линию (смежные углы), в сумме дают $180^\circ$. **а) сумма двух из них равна $114^\circ$.** Если сумма двух углов равна $114^\circ$, то это либо вертикальные углы, либо смежные. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, поэтому это не могут быть смежные углы. Значит, это вертикальные углы. Пусть $\angle1$ и $\angle3$ — вертикальные углы, а $\angle2$ и $\angle4$ — вертикальные углы. Пусть $\angle1 + \angle3 = 114^\circ$. Тогда $\angle1 = \angle3 = 114^\circ / 2 = 57^\circ$. Углы $\angle1$ и $\angle2$ — смежные, значит их сумма $180^\circ$. $\angle2 = 180^\circ - \angle1 = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$. Так как $\angle2$ и $\angle4$ — вертикальные, то $\angle4 = \angle2 = 123^\circ$. **Ответ:** $\angle1 = 57^\circ$, $\angle2 = 123^\circ$, $\angle3 = 57^\circ$, $\angle4 = 123^\circ$. **б) сумма трех углов равна $220^\circ$.** Сумма всех четырех углов равна $360^\circ$. Если сумма трех углов равна $220^\circ$, то четвертый угол равен $360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$. Пусть этот четвертый угол будет $\angle1 = 140^\circ$. Угол, вертикальный углу $\angle1$, это $\angle3$. Значит, $\angle3 = \angle1 = 140^\circ$. Угол, смежный с $\angle1$, это $\angle2$. Значит, $\angle2 = 180^\circ - \angle1 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Угол, вертикальный углу $\angle2$, это $\angle4$. Значит, $\angle4 = \angle2 = 40^\circ$. **Ответ:** $\angle1 = 140^\circ$, $\angle2 = 40^\circ$, $\angle3 = 140^\circ$, $\angle4 = 40^\circ$. **66. На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если:** Рисунок 41 изображает две пересекающиеся прямые, образующие 4 угла. При этом $\angle1$ и $\angle3$ — вертикальные, $\angle2$ и $\angle4$ — вертикальные. Смежные углы: $(\angle1, \angle2)$, $(\angle2, \angle3)$, $(\angle3, \angle4)$, $(\angle4, \angle1)$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. **а) $\angle2 + \angle4 = 220^\circ$;** Углы $\angle2$ и $\angle4$ — вертикальные, поэтому они равны: $\angle2 = \angle4$. Тогда $2 \cdot \angle2 = 220^\circ$, откуда $\angle2 = 220^\circ / 2 = 110^\circ$. Значит, $\angle4 = 110^\circ$. Угол $\angle1$ смежный с $\angle2$, значит $\angle1 = 180^\circ - \angle2 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Угол $\angle3$ вертикальный с $\angle1$, значит $\angle3 = \angle1 = 70^\circ$. **Ответ:** $\angle1 = 70^\circ$, $\angle2 = 110^\circ$, $\angle3 = 70^\circ$, $\angle4 = 110^\circ$. **б) $3(\angle1 + \angle3) = \angle2 + \angle4$;** Углы $\angle1$ и $\angle3$ — вертикальные, значит $\angle1 = \angle3$. Углы $\angle2$ и $\angle4$ — вертикальные, значит $\angle2 = \angle4$. Подставим это в уравнение: $3(\angle1 + \angle1) = \angle2 + \angle2$. $3 \cdot 2 \cdot \angle1 = 2 \cdot \angle2$. $6 \cdot \angle1 = 2 \cdot \angle2$. $\angle2 = 3 \cdot \angle1$. Также углы $\angle1$ и $\angle2$ — смежные, поэтому $\angle1 + \angle2 = 180^\circ$. Подставим $\angle2 = 3 \cdot \angle1$: $\angle1 + 3 \cdot \angle1 = 180^\circ$. $4 \cdot \angle1 = 180^\circ$. $\angle1 = 180^\circ / 4 = 45^\circ$. Тогда $\angle3 = \angle1 = 45^\circ$. $\angle2 = 3 \cdot \angle1 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. $\angle4 = \angle2 = 135^\circ$. **Ответ:** $\angle1 = 45^\circ$, $\angle2 = 135^\circ$, $\angle3 = 45^\circ$, $\angle4 = 135^\circ$. **в) $\angle2 - \angle1 = 30^\circ$.** Углы $\angle1$ и $\angle2$ — смежные, поэтому их сумма $180^\circ$: $\angle1 + \angle2 = 180^\circ$. И у нас есть второе условие: $\angle2 - \angle1 = 30^\circ$. Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} \angle1 + \angle2 = 180^\circ \\ \angle2 - \angle1 = 30^\circ \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $(\angle1 + \angle2) + (\angle2 - \angle1) = 180^\circ + 30^\circ$ $2 \cdot \angle2 = 210^\circ$ $\angle2 = 210^\circ / 2 = 105^\circ$. Теперь найдем $\angle1$ из первого уравнения: $\angle1 = 180^\circ - \angle2 = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. Угол $\angle3$ вертикальный с $\angle1$, значит $\angle3 = \angle1 = 75^\circ$. Угол $\angle4$ вертикальный с $\angle2$, значит $\angle4 = \angle2 = 105^\circ$. **Ответ:** $\angle1 = 75^\circ$, $\angle2 = 105^\circ$, $\angle3 = 75^\circ$, $\angle4 = 105^\circ$.