На рисунке 47 (см. с. 23) найдите углы 1, 2, 3, 4, если: а) \angle 2 + \angle 4 = 220°; б) 3 (\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4; в) \angle 2 - \angle 1 = 30°.

Допущение: на рисунке изображены две пересекающиеся прямые, образующие 4 угла. Углы 1 и 3 являются вертикальными, углы 2 и 4 также являются вертикальными. Сумма углов 1 и 2 (а также 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1) равна 180°, так как они смежные. а) Дано: $\angle 2 + \angle 4 = 220°$ Так как $\angle 2$ и $\angle 4$ — вертикальные углы, они равны: $\angle 2 = \angle 4$. Тогда $2 \cdot \angle 2 = 220°$, отсюда $\angle 2 = 110°$. Значит, $\angle 4 = 110°$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна $180°$. $\angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 110° = 70°$. Угол $\angle 3$ вертикальный углу $\angle 1$, поэтому $\angle 3 = \angle 1 = 70°$. **Ответ: $\angle 1 = 70°, \angle 2 = 110°, \angle 3 = 70°, \angle 4 = 110°$** б) Дано: $3 (\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$ Так как $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные углы, они равны: $\angle 1 = \angle 3$. Тогда $3 (\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 4 \implies 3 \cdot 2 \cdot \angle 1 = \angle 2 + \angle 4 \implies 6 \cdot \angle 1 = \angle 2 + \angle 4$. Также $\angle 2$ и $\angle 4$ — вертикальные углы, они равны: $\angle 2 = \angle 4$. Тогда $6 \cdot \angle 1 = \angle 2 + \angle 2 \implies 6 \cdot \angle 1 = 2 \cdot \angle 2 \implies 3 \cdot \angle 1 = \angle 2$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна $180°$. $\angle 1 + \angle 2 = 180°$. Подставим $\angle 2 = 3 \cdot \angle 1$ в это уравнение: $\angle 1 + 3 \cdot \angle 1 = 180° \implies 4 \cdot \angle 1 = 180° \implies \angle 1 = 45°$. Теперь найдем остальные углы: $\angle 3 = \angle 1 = 45°$. $\angle 2 = 3 \cdot \angle 1 = 3 \cdot 45° = 135°$. $\angle 4 = \angle 2 = 135°$. **Ответ: $\angle 1 = 45°, \angle 2 = 135°, \angle 3 = 45°, \angle 4 = 135°$** в) Дано: $\angle 2 - \angle 1 = 30°$ Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна $180°$. $\angle 1 + \angle 2 = 180°$. У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} \angle 2 - \angle 1 = 30° \\ \angle 1 + \angle 2 = 180° \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $(\angle 2 - \angle 1) + (\angle 1 + \angle 2) = 30° + 180°$ $2 \cdot \angle 2 = 210°$ $\angle 2 = 105°$. Теперь найдем $\angle 1$ из второго уравнения: $\angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 105° = 75°$. Угол $\angle 3$ вертикальный углу $\angle 1$, поэтому $\angle 3 = \angle 1 = 75°$. Угол $\angle 4$ вертикальный углу $\angle 2$, поэтому $\angle 4 = \angle 2 = 105°$. **Ответ: $\angle 1 = 75°, \angle 2 = 105°, \angle 3 = 75°, \angle 4 = 105°$**