Упрости выражения: $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$, $\sin^2(\alpha - 45^{\circ}) - \cos^2(\beta - 45^{\circ})$, $\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right)$

Давай разберем эти тригонометрические выражения. ### 6) $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$ Это выражение похоже на часть формулы синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Чтобы применить эту формулу, нам не хватает множителя $2$. Домножим и разделим на $2$: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $$ Теперь можно применить формулу синуса двойного угла, где $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$: $$ \frac{1}{2} \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{4} - 2\alpha\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) $$ Дальше используем формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$: $$ \frac{1}{2} \cos(2\alpha) $$ **Ответ:** $\frac{1}{2} \cos(2\alpha)$ ### 7) $\sin^2(\alpha - 45^{\circ}) - \cos^2(\beta - 45^{\circ})$ Здесь нет общих тригонометрических формул, которые можно применить напрямую к двум разным углам $\alpha - 45^{\circ}$ и $\beta - 45^{\circ}$. Если бы углы были одинаковыми, можно было бы использовать формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, или $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, или $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. Без дополнительной информации или условия, что $\alpha = \beta$, упростить это выражение дальше невозможно. **Недостаточно данных для решения** ### 8) $\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right)$ Это выражение очень похоже на формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Здесь $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}$. Применяем формулу: $$ \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) = \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right)\right) $$ Раскрываем скобки: $$ \cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{2 \cdot 3\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) $$ Теперь используем формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$: $$ \sin(3\alpha) $$ **Ответ:** $\sin(3\alpha)$