Найди меньший угол трапеции, если отношение углов, прилежащих к одной стороне равнобедренной трапеции, равно 2:3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, \angle BDA = 20° и \angle BDC = 30°. Найди \angle ABD.

1. Отношение углов, прилежащих к одной стороне равнобедренной трапеции, равно $2:3$. Найдите меньший угол трапеции. Пусть углы, прилежащие к одной стороне трапеции, равны $2x$ и $3x$. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. $$2x + 3x = 180^\circ$$ $$5x = 180^\circ$$ $$x = \frac{180^\circ}{5}$$ $$x = 36^\circ$$ Меньший угол равен $2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$. **Ответ: $72^\circ$** 2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 20^\circ$ и $\angle BDC = 30^\circ$. Найдите $\angle ABD$. Поскольку $AB=CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Это значит, что углы при основаниях равны. В равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC=BD$). Проведём диагональ $AC$. Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании $AD$ равны $\angle DAB = \angle CDA$. Также $\angle ABC = \angle BCD$. Так как трапеция равнобедренная, $\angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$. Тогда $\angle DAB = 50^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Также, если провести высоты из $B$ и $C$ к $AD$, то образуются два прямоугольных треугольника. Рассмотрим $\triangle ABD$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$. Угол $\angle ADB$ нам известен, он равен $20^\circ$. Мы нашли $\angle DAB = 50^\circ$. Тогда $\angle ABD = 180^\circ - \angle DAB - \angle ADB = 180^\circ - 50^\circ - 20^\circ = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. **Ответ: $110^\circ$**