Докажи, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны друг другу.

Давайте докажем это утверждение геометрическим способом. Пусть у нас есть два смежных угла $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Они смежные, значит, у них одна общая сторона $OB$, а две другие стороны $OA$ и $OC$ являются продолжением друг друга, образуя прямую линию $AC$. Сумма смежных углов равна 180°. То есть, $\angle AOB + \angle BOC = 180°$. Начертим биссектрису $OM$ для угла $\angle AOB$ и биссектрису $ON$ для угла $\angle BOC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: * $OM$ делит $\angle AOB$, значит $\angle AOM = \angle MOB = \frac{1}{2} \angle AOB$. * $ON$ делит $\angle BOC$, значит $\angle BON = \angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC$. Нам нужно доказать, что биссектрисы $OM$ и $ON$ перпендикулярны, то есть, что $\angle MON = 90°$. Рассмотрим угол $\angle MON$. Он состоит из двух углов: $\angle MOB$ и $\angle BON$. $\angle MON = \angle MOB + \angle BON$ Подставим сюда значения, которые мы нашли для $\angle MOB$ и $\angle BON$: $\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOB + \frac{1}{2} \angle BOC$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\angle MON = \frac{1}{2} (\angle AOB + \angle BOC)$ Мы знаем, что $\angle AOB + \angle BOC = 180°$ (как сумма смежных углов). Подставим это значение в наше равенство: $\angle MON = \frac{1}{2} (180°)$ $\angle MON = 90°$ Мы получили, что угол между биссектрисами двух смежных углов равен 90°. Это означает, что биссектрисы перпендикулярны друг другу. **Что тебе понадобится для рисунка:** 1. Начерти прямую линию $AC$. 2. Отметь точку $O$ на этой прямой. 3. Из точки $O$ проведи луч $OB$. Теперь у тебя есть два смежных угла $\angle AOB$ и $\angle BOC$. 4. Начерти луч $OM$ так, чтобы он делил $\angle AOB$ пополам. Это биссектриса $\angle AOB$. 5. Начерти луч $ON$ так, чтобы он делил $\angle BOC$ пополам. Это биссектриса $\angle BOC$. 6. На рисунке ты увидишь, что угол $\angle MON$ будет прямым (90°). :::div .chart-container @chart-1:::