В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25 соответственно. Найди другой катет этого треугольника

Решаю по порядку. 1. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25. Найди другой катет. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - гипотенуза. Пусть $a = 20$, $c = 25$, тогда: $20^2 + b^2 = 25^2$ $400 + b^2 = 625$ $b^2 = 625 - 400$ $b^2 = 225$ $b = \sqrt{225} = 15$ **Ответ: 15** 2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 14^\circ$ и $\angle BDC = 106^\circ$. Найдите угол $ABD$. Так как $AB = CD$, трапеция равнобедренная, следовательно, $\angle BDA = \angle BDC = 106^\circ$. $\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ$. $\angle BAD = \angle ADC = 120^\circ$ (как углы при основании равнобедренной трапеции). Рассмотрим треугольник $ABD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle BDA = 180^\circ - 120^\circ - 14^\circ = 46^\circ$. **Ответ: 46°** 3. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$. Найдите угол $C$. Т.к. внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$, то внутренний угол $B$ равен $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Т.к. $AC = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 40^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, значит, $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$. **Ответ: 100°** 4. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $62^\circ$, угол $ABC$ равен $47^\circ$. Найдите угол $ACB$. В треугольнике $ABL$: $\angle BAL = 180^\circ - 62^\circ - 47^\circ = 71^\circ$. Так как $AL$ - биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$. В треугольнике $ABC$: $\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 142^\circ - 47^\circ = -9^\circ$. Проверь условие, ответ получился отрицательный. 5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $BC = 9$, $\sin A = 0{,}3$. Найдите $AB$. $\sin A = \frac{BC}{AB}$, следовательно, $AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{9}{0{,}3} = 30$. **Ответ: 30** 6. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 50$, $AC = 96$. Найдите длину медианы $BM$. Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ является также высотой. Значит, треугольник $BMC$ прямоугольный. $MC = \frac{AC}{2} = \frac{96}{2} = 48$. По теореме Пифагора для треугольника $BMC$: $BM^2 + MC^2 = BC^2$. $BM^2 = BC^2 - MC^2 = 50^2 - 48^2 = 2500 - 2304 = 196$. $BM = \sqrt{196} = 14$. **Ответ: 14** 7. У треугольника со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне? Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения основания на высоту. Пусть $a = 12$, $h_a = 1$, $b = 3$, $h_b$ - искомая высота. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$. $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot h_b$ $6 = 1{,}5 h_b$ $h_b = \frac{6}{1{,}5} = 4$ **Ответ: 4** 8. Площадь прямоугольного треугольника равна $242\sqrt{3}$. Один из острых углов равен $30^\circ$. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла. Пусть $S$ - площадь треугольника, $a$ и $b$ - катеты, $\alpha$ - угол между катетом $b$ и гипотенузой. Тогда $S = \frac{1}{2}ab$ и $a = b \tan \alpha$, подставим: $S = \frac{1}{2} b^2 \tan \alpha$, отсюда $b^2 = \frac{2S}{\tan \alpha}$. Угол $\alpha = 30^\circ$, значит $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. $b^2 = \frac{2 \cdot 242 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 \cdot 242 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 242 \cdot 3 = 1452$ $b = \sqrt{1452} = 2 \sqrt{363} = 22 \sqrt{3}$. Тогда $a = b \tan \alpha = 22 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{22 \cdot 3}{3} = 22$. Длина катета, лежащего напротив угла $30^\circ$, равна 22. **Ответ: 22** 9. Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника. В равностороннем треугольнике высота $h$ связана со стороной $a$ соотношением $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Выразим сторону $a$ через высоту $h$: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24$. **Ответ: 24** 10. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 10$. Найдите $\sin B$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6$. **Ответ: 0,6** 11. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$. **Ответ: 47°** 12. Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой. Высота $h$ связана со стороной $a$ соотношением $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Медиана равна высоте: $h = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 21$. **Ответ: 21** 13. В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$. Известно, что $AC = 79$ и $BC = BM$. Найдите $AH$. **Допущение:** Точка $H$ лежит на стороне $AC$. Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2} = 39{,}5$. Так как $BC = BM$, треугольник $BCM$ - равнобедренный. Значит, $\angle BMC = \angle BCM$. Треугольник $BHC$ - прямоугольный, так как $BH$ - высота. Тогда $\angle CBH = 90^\circ - \angle BCM$. Рассмотрим треугольник $ABM$. $\angle ABM = 180^\circ - \angle BAM - \angle BMA$. **Недостаточно данных для решения.** 14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = 65$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна 52. Найдите $\sin \angle ABC$. **Допущение:** $\angle B$ - это $\angle ABC$. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} AC \cdot BC$ и $S = \frac{1}{2} AB \cdot CH$. Приравняем оба выражения: $\frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CH$, значит $AC \cdot BC = AB \cdot CH$. $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$, значит $AB = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$. Подставим в предыдущее уравнение: $AC \cdot BC = \frac{AC}{\sin \angle ABC} \cdot CH$, значит $BC = \frac{CH}{\sin \angle ABC}$. $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$, значит $AB = \frac{AC}{\sin B}$. $\sin B = \frac{AC}{AB}$, где $AC = 65$. $\sin B = \frac{CH}{BC}$, где $CH = 52$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. $\frac{AC^2}{\sin^2 B} = AC^2 + \frac{CH^2}{\sin^2 B}$ $AC^2 = AC^2 \sin^2 B + CH^2$ $\sin^2 B = \frac{AC^2 - CH^2}{AC^2} = \frac{65^2 - 52^2}{65^2} = \frac{4225 - 2704}{4225} = \frac{1521}{4225} = 0{,}36$ $\sin B = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6$ **Ответ: 0,6** 15. Площадь равнобедренного треугольника равна $196\sqrt{3}$. Угол, лежащий напротив основания, равен $120^\circ$. Найдите длину боковой стороны. Пусть $S$ - площадь треугольника, $a$ - боковая сторона, $\alpha$ - угол между боковыми сторонами. Тогда $S = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha$. $a^2 = \frac{2S}{\sin \alpha}$, где $S = 196\sqrt{3}$, $\alpha = 120^\circ$. $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $a^2 = \frac{2 \cdot 196\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot 196\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 196 = 784$ $a = \sqrt{784} = 28$ **Ответ: 28**