Реши задачи 1-15 по геометрии

Решу задачи по геометрии, которые ты прислал! 1. В прямоугольном треугольнике известны катет (20) и гипотенуза (25). Нужно найти другой катет. Воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — гипотенуза. Тогда $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$. **Ответ: 15** 2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 14^\circ$ и $\angle BDC = 106^\circ$. Найдем $\angle ABD$. Трапеция равнобедренная, значит, углы при основании равны. $\angle ADB = 14^\circ$, $\angle BDC = 106^\circ$. Тогда $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ$. $\angle BAD = \angle ADC = 120^\circ$. $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle BDA = 180^\circ - 120^\circ - 14^\circ = 46^\circ$. **Ответ: 46°** 3. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$. Найдем угол $C$. Так как внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$, то внутренний угол $\angle ABC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC = BC$), поэтому $\angle BAC = \angle ABC = 40^\circ$. $\angle C = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$. **Ответ: 100°** 4. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, $\angle ALC = 62^\circ$, $\angle ABC = 47^\circ$. Найдем угол $ACB$. $\angle BAC = 180^\circ - \angle ALC - \angle ACL = 180^\circ - 62^\circ - \angle ACL$. $\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 47^\circ - (180^\circ - 62^\circ - \angle ACL)$. Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAL = \angle CAL$. Обозначим $\angle CAL = x$, тогда $\angle BAC = 2x$. $\angle ACB = 180^\circ - 47^\circ - (180^\circ - 62^\circ - x) = 133^\circ - 118^\circ + x = 15^\circ + x$. Рассмотрим треугольник $ALC$: $\angle LAC + \angle ALC + \angle ACL = 180^\circ$, то есть $x + 62^\circ + \angle ACL = 180^\circ$, откуда $\angle ACL = 118^\circ - x$. Теперь подставим это в выражение для $\angle ACB$: $\angle ACB = 15^\circ + x$, но $\angle ACL = 118^\circ - x$, тогда $\angle ACB = 2 \cdot (118^\circ - x)$. Решим уравнение: $15^\circ + x = 118^\circ - x$, $2x = 103^\circ$, $x = 51,5^\circ$. $\angle ACB = 15^\circ + 51,5^\circ = 66,5^\circ$. **Ответ: 66,5°** 5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $BC = 9$, $sin A = 0,3$. Найдем $AB$. $sin A = \frac{BC}{AB}$. Тогда $AB = \frac{BC}{sin A} = \frac{9}{0,3} = 30$. **Ответ: 30** 6. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 50$, $AC = 96$. Найдем длину медианы $BM$. Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и высотой. Значит, треугольник $BMA$ — прямоугольный. $AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 96 = 48$. По теореме Пифагора: $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{50^2 - 48^2} = \sqrt{2500 - 2304} = \sqrt{196} = 14$. **Ответ: 14** 7. У треугольника со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне? Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$. Тогда $a h_a = b h_b$. В нашем случае: $12 \cdot 1 = 3 \cdot h_b$. Отсюда $h_b = \frac{12 \cdot 1}{3} = 4$. **Ответ: 4** 8. Площадь прямоугольного треугольника равна $242\sqrt{3}$. Один из острых углов равен $30^\circ$. Найдем длину катета, лежащего напротив этого угла. Пусть $a$ — катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, $b$ — другой катет. Тогда $a = \frac{1}{2} c$, где $c$ — гипотенуза. Также $b = c \cdot cos 30^\circ = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Площадь прямоугольного треугольника равна $S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} c \cdot c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$. По условию $S = 242\sqrt{3}$. Тогда $\frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = 242\sqrt{3}$. Отсюда $c^2 = 242 \cdot 8$, $c = \sqrt{242 \cdot 8} = \sqrt{1936} = 44$. Катет $a = \frac{1}{2} c = \frac{1}{2} \cdot 44 = 22$. **Ответ: 22** 9. Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника. В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника с углами 30° и 60°. Если высота равна $12\sqrt{3}$, то половина стороны (катет, лежащий напротив угла 30°) равна $x$, а сторона (гипотенуза) равна $2x$. Высота является катетом, прилежащим к углу 60°, поэтому $12\sqrt{3} = x\sqrt{3}$. Отсюда $x = 12$. Тогда сторона треугольника равна $2x = 2 \cdot 12 = 24$. **Ответ: 24** 10. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 10$. Найдите $sin B$. В прямоугольном треугольнике $sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. **Ответ: 0,6** 11. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$. **Ответ: 47°** 12. Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой. Высота $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = 14\sqrt{3}$, поэтому $h = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 21$. **Ответ: 21** 13. В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$. Известно, что $AC = 79$ и $BC = BM$. Найдите $AH$. **Допущение:** $M$ — середина $AC$, значит, $AM = MC = \frac{79}{2} = 39,5$. Так как $BC = BM$, то треугольник $BMC$ — равнобедренный, и углы при основании $MC$ равны. Пусть $\angle MBC = \angle MCB = x$. Тогда $\angle BMC = 180^\circ - 2x$. В треугольнике $ABM$: $\angle ABM = 180^\circ - \angle BAM - \angle BMA = 180^\circ - \angle BAM - (180^\circ - 2x) = 2x - \angle BAM$. $\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 2x - \angle BAM + x = 3x - \angle BAM$. В треугольнике $BHC$: $\angle CBH = 90^\circ - \angle BCH = 90^\circ - x$. В треугольнике $ABH$: $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - (\angle ABC - \angle CBH) = 90^\circ - (3x - \angle BAM - (90^\circ - x)) = 90^\circ - (4x - \angle BAM - 90^\circ) = 180^\circ - 4x + \angle BAM$. Угол $BAC = \angle BAM = \angle BAH$, значит, $\angle BAM = 180^\circ - 4x + \angle BAM$. Отсюда $180^\circ - 4x = 0$, $4x = 180^\circ$, $x = 45^\circ$. $\angle BAC = \angle BAM = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BHC$: $HC = BC \cdot cos x = BC \cdot cos 45^\circ = BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $BC = BM$ и $BM$ — медиана, то $BC = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2} = 39,5$. $HC = 39,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 27,93$. $AH = AC - HC = 79 - 27,93 = 51,07$. **Ответ: 51,07** 14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = 65$, а высота $CH$, опущенная на гипотенузу, равна 52. Найдите $sin \angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$. Нужно найти $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти двумя способами: $\frac{1}{2} AC \cdot BC$ и $\frac{1}{2} AB \cdot CH$. Тогда $AC \cdot BC = AB \cdot CH$. Из прямоугольного треугольника $ACH$: $AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{65^2 - 52^2} = \sqrt{4225 - 2704} = \sqrt{1521} = 39$. Обозначим $HB = x$. Тогда $BC^2 = CH^2 + HB^2 = 52^2 + x^2 = 2704 + x^2$. Из подобия треугольников $ACH$ и $BCH$ следует, что $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB}$, то есть $\frac{39}{52} = \frac{52}{x}$. Отсюда $x = \frac{52 \cdot 52}{39} = \frac{4 \cdot 52}{3} = \frac{208}{3} \approx 69,33$. $BC = \sqrt{2704 + (\frac{208}{3})^2} = \sqrt{2704 + \frac{43264}{9}} = \sqrt{\frac{24336 + 43264}{9}} = \sqrt{\frac{67600}{9}} = \frac{260}{3} \approx 86,67$. $AB = AH + HB = 39 + \frac{208}{3} = \frac{117 + 208}{3} = \frac{325}{3} \approx 108,33$. $sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{65}{\frac{325}{3}} = \frac{65 \cdot 3}{325} = \frac{195}{325} = \frac{3}{5} = 0,6$. **Ответ: 0,6** 15. Площадь равнобедренного треугольника равна $196\sqrt{3}$. Угол, лежащий напротив основания, равен $120^\circ$. Найдите длину боковой стороны. Пусть $a$ — боковая сторона. Тогда площадь треугольника $S = \frac{1}{2} a^2 sin 120^\circ = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. По условию $S = 196\sqrt{3}$. Тогда $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 196\sqrt{3}$. Отсюда $a^2 = 196 \cdot 4$, $a = \sqrt{196 \cdot 4} = 14 \cdot 2 = 28$. **Ответ: 28**