Реши задачи 14-25 из контрольной работы по геометрии.

14. Это задача на арифметическую прогрессию. Первый член $a_1 = 0.5$, разность $d = 0.4$, число членов $n = 7$. Сумма $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$. Подставляем значения: $S_7 = \frac{7}{2}(2 \cdot 0.5 + (7-1) \cdot 0.4) = \frac{7}{2}(1 + 6 \cdot 0.4) = \frac{7}{2}(1 + 2.4) = \frac{7}{2} \cdot 3.4 = 7 \cdot 1.7 = 11.9$. **Ответ: 11.9 метров** 15. В остроугольном треугольнике $ETZ$ проведена высота $TR$, $\angle TEZ = 12^{\circ}$. Нужно найти $\angle ETR$. Так как $TR$ - высота, то $\angle TRT = 90^{\circ}$. В треугольнике $ETR$ сумма углов равна $180^{\circ}$. Тогда $\angle ETR = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 12^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$. **Ответ: 78 градусов** 16. В окружности с центром $N$ проведены диаметры $CM$ и $TH$. $\angle CMT = 39^{\circ}$. Найдите $\angle CNM$. $\angle CNT$ - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол $\angle CMT$. $\angle CNT = 2 \cdot \angle CMT = 2 \cdot 39^{\circ} = 78^{\circ}$. Так как $CN$ и $NT$ - радиусы, то треугольник $CNT$ - равнобедренный. $\angle NCT = \angle NTC = (180^{\circ} - 78^{\circ})/2 = 102^{\circ}/2 = 51^{\circ}$. $\angle CNM = 180^{\circ} - \angle CNT = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$. **Ответ: 102 градуса** 17. Один из углов параллелограмма равен $111^{\circ}$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Меньший угол равен $180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ}$. **Ответ: 69 градусов** 19. Укажите номера верных утверждений: 1) Треугольник с углами $40^{\circ}, 70^{\circ}, 70^{\circ}$ - равнобедренный. **Верно**, так как два угла равны. 2) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. **Верно**, это свойство серединного перпендикуляра. 3) Медиана треугольника делит пополам угол, из которого проведена. **Неверно**, это верно только для равнобедренного треугольника. **Ответ: 1, 2** 20. Решите уравнение $x^2 = (4x+45)^2$. $x^2 = 16x^2 + 360x + 2025$ $15x^2 + 360x + 2025 = 0$ Разделим на 15: $x^2 + 24x + 135 = 0$ $D = 24^2 - 4 \cdot 135 = 576 - 540 = 36$ $x_1 = (-24 + 6)/2 = -18/2 = -9$ $x_2 = (-24 - 6)/2 = -30/2 = -15$ **Ответ: -9, -15** 21. Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 5%. Сколько сухих фруктов получится из 228 кг свежих фруктов? Пусть $x$ кг - масса сухих фруктов. В 228 кг свежих фруктов содержится $228 \cdot (1 - 0.75) = 228 \cdot 0.25 = 57$ кг сухого вещества. В сухих фруктах 95% сухого вещества, значит, $x \cdot 0.95 = 57$, откуда $x = 57/0.95 = 60$. **Ответ: 60 кг** 22. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 12x + 41, & x \geq -7 \\ x + 14, & x < -7 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Для $x \geq -7$: $y = x^2 + 12x + 41 = (x+6)^2 + 5$. Это парабола с вершиной в точке $(-6, 5)$. Для $x < -7$: $y = x + 14$. Это прямая. Прямая $y = m$ имеет две общие точки с графиком, когда она проходит через вершину параболы или через точку $(-7, 7)$. Вершина параболы: $y = 5$. Точка на прямой при $x = -7$: $y = -7 + 14 = 7$. **Ответ: $m = 5$ или $m = 7$** 23. Отрезки $ES$ и $TN$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $TN$, если $ES = 150, TN = 50$, а расстояние от центра окружности до хорды $ES$ равно 40. **Недостаточно данных для решения**. Нужно знать, что хорды $ES$ и $TN$ параллельны или пересекаются. 24. Основания $PF$ и $SX$ трапеции $SPFX$ равны соответственно 11 и 99, $PX = 33$. Докажите, что треугольники $FPX$ и $PXS$ подобны. $\frac{PF}{SX} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}$ $\frac{PX}{XS}$ - нужно найти. Допустим, что $XS = x$, тогда $PX/XS = 33/x$ Чтобы доказать подобие, нужно, чтобы углы прилежащие к основаниям были равны. **Недостаточно данных для решения**, так как не указано, являются ли углы при основаниях равными, чтобы можно было доказать подобие по двум сторонам и углу между ними. 25. Боковые стороны $CZ$ и $TX$ трапеции $CZTX$ равны соответственно 60 и 68, а основание $ZT$ равно 18. Биссектриса угла $CZT$ проходит через середину стороны $CZ$. Найдите площадь трапеции. **Недостаточно данных для решения**. Нужно знать, является ли трапеция равнобедренной или нет.