Найди производную функции, составь уравнение касательной, исследуй функцию на монотонность, найди наибольшее и наименьшее значения функции, по графику определи точки максимума и минимума функции и промежутки возрастания.

1. Найди производную функции: a) $y = -3(4 - \frac{1}{3}x)^4$ $y' = -3 * 4 * (4 - \frac{1}{3}x)^3 * (-\frac{1}{3}) = 4(4 - \frac{1}{3}x)^3$ б) $y = -\sqrt{1 - 2x}$ $y' = -\frac{1}{2\sqrt{1-2x}} * (-2) = \frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ в) $y = ctg(3x + \frac{\pi}{4})$ $y' = -\frac{1}{sin^2(3x + \frac{\pi}{4})} * 3 = -\frac{3}{sin^2(3x + \frac{\pi}{4})}$ г) $y = \frac{1}{(4 - 7x)}$ $y' = -1 * (4 - 7x)^{-2} * (-7) = \frac{7}{(4 - 7x)^2}$ 2. Составь уравнение касательной к графику функции $y = -\frac{x^4}{27} + \frac{x^2}{3} - 2x + 5$ в точке с абсциссой $x = 3$. $y(3) = -\frac{3^4}{27} + \frac{3^2}{3} - 2 * 3 + 5 = -3 + 3 - 6 + 5 = -1$ $y' = -\frac{4x^3}{27} + \frac{2x}{3} - 2$ $y'(3) = -\frac{4 * 3^3}{27} + \frac{2 * 3}{3} - 2 = -4 + 2 - 2 = -4$ Уравнение касательной: $y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)$ $y = -4(x - 3) - 1 = -4x + 12 - 1 = -4x + 11$ 3. Исследуйте функцию на монотонность: a) $y = -x^3 - 4x^2 + 3x + 16$ $y' = -3x^2 - 8x + 3$ $-3x^2 - 8x + 3 = 0$ $3x^2 + 8x - 3 = 0$ $D = 64 - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100$ $x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$ При $x < -3$ функция убывает. При $-3 < x < \frac{1}{3}$ функция возрастает. При $x > \frac{1}{3}$ функция убывает. б) $y = 3x - \sqrt{6x} - 17$ $y' = 3 - \frac{6}{2\sqrt{6x}} = 3 - \frac{3}{\sqrt{6x}}$ $3 - \frac{3}{\sqrt{6x}} = 0$ $\frac{3}{\sqrt{6x}} = 3$ $\sqrt{6x} = 1$ $6x = 1$ $x = \frac{1}{6}$ При $0 < x < \frac{1}{6}$ функция убывает. При $x > \frac{1}{6}$ функция возрастает. 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1. $y = \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2}$ на отрезке $[-2; 1]$ $y' = \frac{1 * (x^2 + 2x + 2) - (x + 1) * (2x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2} = \frac{x^2 + 2x + 2 - (2x^2 + 4x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2} = \frac{-x^2 - 2x}{(x^2 + 2x + 2)^2} = \frac{-x(x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2}$ $-x(x + 2) = 0$ $x_1 = 0$ $x_2 = -2$ $y(-2) = \frac{-2 + 1}{(-2)^2 + 2 * (-2) + 2} = \frac{-1}{4 - 4 + 2} = -\frac{1}{2}$ $y(0) = \frac{0 + 1}{0 + 0 + 2} = \frac{1}{2}$ $y(1) = \frac{1 + 1}{1 + 2 + 2} = \frac{2}{5}$ Наибольшее значение: $\frac{1}{2}$ Наименьшее значение: $-\frac{1}{2}$ 2. $y = 2sin^2x$ на отрезке $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4}]$ $y' = 4sinxcosx = 2sin2x$ $2sin2x = 0$ $sin2x = 0$ $2x = \pi n, n \in Z$ $x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z$ $x = \frac{\pi}{2}$ $y(\frac{\pi}{3}) = 2sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2 * (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 * \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ $y(\frac{\pi}{2}) = 2sin^2(\frac{\pi}{2}) = 2 * 1^2 = 2$ $y(\frac{3\pi}{4}) = 2sin^2(\frac{3\pi}{4}) = 2 * (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 * \frac{2}{4} = 1$ Наибольшее значение: $2$ Наименьшее значение: $1$ 5. По графику определите: а) Точки максимума и минимума функции $y = f(x)$: Точки максимума: $x = -2$ и $x = 4$ Точка минимума: $x = 1$ б) Промежутки возрастания функции $y = f(x)$. $(-inf; -2)$, $(1; 4)$