Реши задачи 27-31 по геометрии из ЕГЭ

27. Площадь квадрата равна 144, значит, сторона квадрата, а следовательно и ромба, равна $\sqrt{144}=12$. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла: $S = a^2 \cdot sin(\alpha) = 12^2 \cdot sin(30°) = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72$. **Ответ: 72** 28. Допущение: Боковая сторона образует угол 150° с большим основанием трапеции. Проведём высоту $BH$ к большему основанию. Тогда в прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $ABH$ равен $180°-150°=30°$. Катет, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы, то есть $AH = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Тогда высота $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot (4 + 16) \cdot 6\sqrt{3} = 10 \cdot 6\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$. **Ответ: $60\sqrt{3}$** 29. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна $h$. Тогда $36 = \frac{7+5}{2} \cdot h$, откуда $h = \frac{36}{6} = 6$. Высота трапеции, проведённая из вершины $B$ к основанию $AD$, является также высотой треугольника $ABC$. Поэтому площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21$. **Ответ: 21** 30. Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, значит, $BM$ является и высотой. Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, и $AB = BC$. Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32$. По теореме Пифагора, $AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$. **Ответ: 40** 31. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC = 50$) медиана $BM$ является также высотой и биссектрисой. Значит, треугольник $ABM$ прямоугольный, и $AM = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14$. По теореме Пифагора, $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48$. **Ответ: 48**