Найди третью сторону и площадь треугольника, если две стороны треугольника равны 15 см и 6 см, а косинус угла между ними равен -4/5. Реши треугольник ΔABC, если ∠B = 30°, ∠C = 105°, BC =32 см.

2. a) Чтобы найти третью сторону треугольника, воспользуемся теоремой косинусов: Пусть $a = 15$ см, $b = 6$ см, $\cos{\gamma} = -\frac{4}{5}$. Тогда третья сторона $c$ равна: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma}$ $c^2 = 15^2 + 6^2 - 2 \cdot 15 \cdot 6 \cdot (-\frac{4}{5})$ $c^2 = 225 + 36 + 144$ $c^2 = 405$ $c = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} \approx 20.12$ см б) Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin{\gamma}$ Нам известен $\cos{\gamma} = -\frac{4}{5}$, найдем $\sin{\gamma}$: $\sin^2{\gamma} + \cos^2{\gamma} = 1$ $\sin^2{\gamma} = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ $\sin{\gamma} = \frac{3}{5}$ (т.к. угол между сторонами от 0 до 180 градусов, синус положительный) $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 \cdot \frac{3}{5} = 27$ см$^2$ 3. В треугольнике $\triangle ABC$ известны $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 105^\circ$, $BC = 32$ см. Найдем $\angle A$: $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$ Теперь можно воспользоваться теоремой синусов: $\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}} = \frac{AB}{\sin{C}}$ $\frac{32}{\sin{45^\circ}} = \frac{AC}{\sin{30^\circ}} = \frac{AB}{\sin{105^\circ}}$ Выразим $AC$ и $AB$: $AC = \frac{32 \cdot \sin{30^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{32 \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2} \approx 22.63$ см $\sin{105^\circ} = \sin{(60^\circ + 45^\circ)} = \sin{60^\circ}\cos{45^\circ} + \cos{60^\circ}\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ $AB = \frac{32 \cdot \sin{105^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{32 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 16(\sqrt{3} + 1) \approx 43.14$ см **Ответ:** 2. a) Третья сторона: $\approx 20.12$ см б) Площадь: $27$ см$^2$ 3. $\angle A = 45^\circ$, $AC \approx 22.63$ см, $AB \approx 43.14$ см