Найди значение выражения, определи числа, которые не входят в область допустимых значений дроби, сократи дробь, найди сумму или разность, выполни действия, упрости выражение, вырази R из формулы, упрости выражение, сократи дробь, упрости выражение и докажи, что верно равенство.

1. Подставим значения $x = -3$ и $y = 0.3$ в выражение $\frac{xy}{x - 2y}$: $$\frac{(-3) \cdot (0.3)}{-3 - 2 \cdot 0.3} = \frac{-0.9}{-3 - 0.6} = \frac{-0.9}{-3.6} = \frac{0.9}{3.6} = \frac{1}{4} = 0.25$$ **Ответ: 0.25** 2. a) $x - 7 \neq 0$, значит $x \neq 7$. б) $a^2 \neq 0$, значит $a \neq 0$. **Ответ: a) x ≠ 7, б) a ≠ 0** 3. Сократим дробь $\frac{a^2 + ab}{ab}$: $$\frac{a^2 + ab}{ab} = \frac{a(a + b)}{ab} = \frac{a + b}{b}$$ **Ответ: $\frac{a + b}{b}$** 4. a) Найдем разность $\frac{3b^2 + 2b}{b^2 - 4} - \frac{b}{b - 2}$: Разложим знаменатель первой дроби: $b^2 - 4 = (b - 2)(b + 2)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{3b^2 + 2b}{(b - 2)(b + 2)} - \frac{b(b + 2)}{(b - 2)(b + 2)} = \frac{3b^2 + 2b - b^2 - 2b}{(b - 2)(b + 2)} = \frac{2b^2}{(b - 2)(b + 2)} = \frac{2b^2}{b^2 - 4}$$ б) Выражение $\frac{2 + 5c^2}{c} - 6c$ преобразуем к общему знаменателю: $$\frac{2 + 5c^2 - 6c^2}{c} = \frac{2 - c^2}{c}$$ **Ответ: a) $\frac{2b^2}{b^2 - 4}$, б) $\frac{2 - c^2}{c}$** 5. а) Выполним деление $\frac{xy + y^2}{8x} : \frac{x + y}{2x}$: $$\frac{xy + y^2}{8x} : \frac{x + y}{2x} = \frac{y(x + y)}{8x} \cdot \frac{2x}{x + y} = \frac{2xy(x + y)}{8x(x + y)} = \frac{y}{4}$$ б) Выполним умножение $6x^2y \cdot \frac{2x}{3y^2}$: $$6x^2y \cdot \frac{2x}{3y^2} = \frac{12x^3y}{3y^2} = \frac{4x^3}{y}$$ **Ответ: a) $\frac{y}{4}$, б) $\frac{4x^3}{y}$** 6. Упростим выражение $b - \frac{2a}{a - b} - \frac{a^2 - b^2}{4a}$: Приведем к общему знаменателю $4a(a - b)$: $$\frac{4ab(a - b) - 8a^2 - (a^2 - b^2)(a - b)}{4a(a - b)} = \frac{4a^2b - 4ab^2 - 8a^2 - (a^3 - a^2b - ab^2 + b^3)}{4a(a - b)} =$$ $$\frac{4a^2b - 4ab^2 - 8a^2 - a^3 + a^2b + ab^2 - b^3}{4a(a - b)} = \frac{-a^3 + 5a^2b - 3ab^2 - b^3 - 8a^2}{4a(a - b)}$$ **Ответ: $\frac{-a^3 + 5a^2b - 3ab^2 - b^3 - 8a^2}{4a(a - b)}$** 7. Выразим $R$ из формулы $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$: Приведем к общему знаменателю: $$\frac{1}{R} = \frac{R_2 + R_1}{R_1R_2}$$ $$R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$$ **Ответ: $R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$** 8. Упростим выражение $\frac{a^3}{3c} : (\frac{ab^2}{c} : \frac{3b^3}{a})$: $$\frac{a^3}{3c} : (\frac{ab^2}{c} : \frac{3b^3}{a}) = \frac{a^3}{3c} : \frac{ab^2a}{3b^3c} = \frac{a^3}{3c} : \frac{a^2}{3bc} = \frac{a^3}{3c} \cdot \frac{3bc}{a^2} = ab$$ **Ответ: $ab$** 9. Сократим дробь $\frac{1 - 4a - 4b}{4a^2 - 4b^2 + b - a}$: $$\frac{1 - 4a - 4b}{4a^2 - 4b^2 + b - a} = \frac{1 - 4(a + b)}{4(a^2 - b^2) - (a - b)} = \frac{1 - 4(a + b)}{4(a - b)(a + b) - (a - b)} = \frac{1 - 4(a + b)}{(a - b)(4(a + b) - 1)} = \frac{1 - 4(a + b)}{(a - b)(4a + 4b - 1)} = -\frac{1}{a-b}$$ **Ответ: -$\frac{1}{a-b}$** 10. Упростим выражение $(\frac{x + x + 1}{x})^2 - (x - \frac{x + 1}{x})^2$: $(\frac{2x + 1}{x})^2 - (\frac{x^2 - x - 1}{x})^2 = \frac{(2x + 1)^2 - (x^2 - x - 1)^2}{x^2} =$ $\frac{4x^2 + 4x + 1 - (x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 - 2x^2 + 2x)}{x^2} = \frac{4x^2 + 4x + 1 - x^4 - x^2 - 1 + 2x^3 + 2x^2 - 2x}{x^2} =$$ $\frac{-x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 2x}{x^2} = \frac{x(-x^3 + 2x^2 + 5x + 2)}{x^2} = -x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}$ **Ответ: $-x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}$** 11. Докажем, что верно равенство: $$\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0$$ Приведем к общему знаменателю $(a - b)(a - c)(b - c)$. $\frac{(b - c) - (a - c) + (a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{b - c - a + c + a - b}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{0}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 0$ Что и требовалось доказать. **Ответ: Выражение верно**