Определи сумму потенциальной и кинетической энергий тела в точке, находящейся от поверхности Земли на высоте 7 м.

12. Давай решим задачу про тело, которое падает. Сначала найдем потенциальную энергию тела в начале падения: $E_{п1} = mgh_1 = 5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м} = 980 \text{ Дж}$. В точке на высоте 7 м потенциальная энергия будет: $E_{п2} = mgh_2 = 5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 7 \text{ м} = 343 \text{ Дж}$. По закону сохранения энергии, разница потенциальной энергии превратится в кинетическую энергию: $E_{к} = E_{п1} - E_{п2} = 980 \text{ Дж} - 343 \text{ Дж} = 637 \text{ Дж}$. Сумма потенциальной и кинетической энергий в точке на высоте 7 м равна: $E = E_{п2} + E_{к} = 343 \text{ Дж} + 637 \text{ Дж} = 980 \text{ Дж}$. **Ответ: 980 Дж**. 13. Давай решим задачу про тело, падающее с высоты. Импульс тела в момент соприкосновения с землей равен $p = 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$. Чтобы найти массу тела, воспользуемся формулой импульса: $p = mv$, где $m$ - масса, $v$ - скорость. Сначала найдем скорость тела в момент падения, используя закон сохранения энергии: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$, где $h = 5.14 \text{ м}$. Тогда $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 5.14 \text{ м}} = \sqrt{100.712} \approx 10.04 \text{ м/с}$. Теперь найдем массу тела: $m = \frac{p}{v} = \frac{100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{10.04 \text{ м/с}} \approx 9.96 \text{ кг}$. Кинетическая энергия тела в момент удара о Землю: $E_к = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 9.96 \text{ кг} \cdot (10.04 \text{ м/с})^2 \approx 501.9 \text{ Дж}$. **Ответ: масса тела примерно 9.96 кг, кинетическая энергия примерно 501.9 Дж**. 14. Давай решим задачу про автомобиль, который останавливается. Сначала найдем ускорение автомобиля. Он останавливается, поэтому конечная скорость равна 0. Используем формулу: $v = v_0 + at$, где $v = 0$, $t = 12 \text{ с}$. Расстояние, пройденное автомобилем, равно $s = v_0t + \frac{1}{2}at^2$, где $s = 60 \text{ м}$. Выразим $v_0$ из первого уравнения: $v_0 = -at$. Подставим во второе уравнение: $60 = -at \cdot 12 + \frac{1}{2}a(12)^2 = -12at + 72a$. Получается $60 = -12a \cdot 12 + 72a$, тогда $60 = -144a + 72a = -72a$. Отсюда $a = \frac{60}{-72} = -\frac{5}{6} \text{ м/с}^2 \approx -0.833 \text{ м/с}^2$. Начальная скорость $v_0 = -at = -(-0.833 \text{ м/с}^2) \cdot 12 \text{ с} = 10 \text{ м/с}$. Сила трения, действующая на автомобиль, равна $F = ma$, где $m = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$. $F = 2000 \text{ кг} \cdot (-0.833 \text{ м/с}^2) = -1666 \text{ Н}$. Работа, совершенная силой трения, равна $A = Fs = -1666 \text{ Н} \cdot 60 \text{ м} = -99960 \text{ Дж}$. **Ответ: начальная скорость автомобиля 10 м/с, сила трения примерно -1666 Н**. 15. Давай решим задачу про груз, падающий в грунт. Груз падает с высоты $h = 5 \text{ м}$ и проникает в грунт на глубину $x = 0.05 \text{ м}$. По закону сохранения энергии, потенциальная энергия груза переходит в работу силы сопротивления грунта. $mgh = F_{сопр} \cdot x$, где $m = 4 \text{ кг}$, $g = 9.8 \text{ м/с}^2$. Тогда $F_{сопр} = \frac{mgh}{x} = \frac{4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = \frac{196}{0.05} = 3920 \text{ Н}$. **Ответ: средняя сила сопротивления грунта 3920 Н**. 16. Давай решим задачу про выстрел из пружинного пистолета. Пуля массой $m = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}$. Пружина с жесткостью $k = 392 \text{ Н/м}$ сжата на $x = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$. Энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию пули, а затем в потенциальную энергию на высоте. $\frac{1}{2}kx^2 = mgh$, где $h$ - высота подъема пули. $h = \frac{kx^2}{2mg} = \frac{392 \text{ Н/м} \cdot (0.1 \text{ м})^2}{2 \cdot 0.04 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{392 \cdot 0.01}{0.08 \cdot 9.8} = \frac{3.92}{0.784} = 5 \text{ м}$. **Ответ: пуля поднимется на высоту 5 м**. 17. Давай решим задачу про пулю, попавшую в мешочек с песком. Пуля массой $m_1 = 15 \text{ г} = 0.015 \text{ кг}$ летит со скоростью $v_1 = 500 \text{ м/с}$. Мешочек с песком массой $m_2 = 6 \text{ кг}$. По закону сохранения импульса, $m_1v_1 = (m_1 + m_2)u$, где $u$ - скорость мешочка с пулей после столкновения. $u = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} = \frac{0.015 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{0.015 \text{ кг} + 6 \text{ кг}} = \frac{7.5}{6.015} \approx 1.247 \text{ м/с}$. Кинетическая энергия мешочка с пулей переходит в потенциальную энергию на высоте $h$. $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)u^2 = (m_1 + m_2)gh$. $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(1.247 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{1.555}{19.6} \approx 0.079 \text{ м}$. **Ответ: мешочек поднимется на высоту примерно 0.079 м**. 18. Для решения задачи о наименьшей высоте разбега велосипедиста нужно знать минимальную скорость в верхней точке петли, чтобы он не оторвался. Эта скорость определяется из условия, что центростремительная сила равна силе тяжести: $v^2/R = g$, где $R = 4 \text{ м}$. Отсюда $v = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \cdot 4} \approx 6.26 \text{ м/с}$. Далее, по закону сохранения энергии, полная механическая энергия в начале разбега должна быть равна полной механической энергии в верхней точке петли: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mg(2R)$, где $h$ - искомая высота. Тогда $h = \frac{v^2}{2g} + 2R = \frac{6.26^2}{2 \cdot 9.8} + 2 \cdot 4 \approx 2 + 8 = 10 \text{ м}$. **Ответ: 10 м** 19. Недостаточно данных для решения.