Докажи тождество и найди значение выражения.

3) Нужно доказать тождество: $\frac{2x+5}{x^2+4x+4} - \frac{x+3}{x^2+2x} : \frac{x^2-6}{x^3-4x} = \frac{x-2}{x+2}$. *Решение:* Преобразуем левую часть: $\frac{2x+5}{x^2+4x+4} - \frac{x+3}{x^2+2x} : \frac{x^2-6}{x^3-4x} = \frac{2x+5}{(x+2)^2} - \frac{x+3}{x(x+2)} : \frac{x^2-6}{x(x-2)(x+2)} =$ $\frac{2x+5}{(x+2)^2} - \frac{x+3}{x(x+2)} \cdot \frac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6} = \frac{2x+5}{(x+2)^2} - \frac{(x+3)(x-2)}{x^2-6} =$ $\frac{2x+5}{(x+2)^2} - \frac{x^2+x-6}{x^2-6} = \frac{2x+5}{(x+2)^2} - 1 - \frac{x}{x^2-6} =$ $\frac{2x+5 - (x+2)^2}{(x+2)^2} + \frac{x}{6-x^2} = \frac{2x+5 - (x^2+4x+4)}{(x+2)^2} + \frac{x}{6-x^2} = \frac{-x^2-2x+1}{(x+2)^2} + \frac{x}{6-x^2} = $ $\frac{-x^2-2x+1}{(x+2)^2} + \frac{x}{6-x^2} = \frac{-(x^2+2x-1)(6-x^2) + x(x+2)^2}{(x+2)^2 (6-x^2)} = \frac{-6x^2 - 12x + 6 + x^4 + 2x^3 - x^2 + x(x^2+4x+4)}{(x+2)^2 (6-x^2)} =$ $\frac{x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 12x + 6 + x^3 + 4x^2 + 4x}{(x+2)^2 (6-x^2)} = \frac{x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 8x + 6}{(x+2)^2 (6-x^2)}$ Тут что-то не сходится, нужно проверить условие. 4) Дано: $x^2 + \frac{25}{x^2} = 54$. Найти значение выражения: $x + \frac{5}{x}$. *Решение:* Пусть $t = x + \frac{5}{x}$. Тогда $t^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{x} + \frac{25}{x^2} = x^2 + 10 + \frac{25}{x^2}$. Так как $x^2 + \frac{25}{x^2} = 54$, то $t^2 = 54 + 10 = 64$. Значит, $t = \pm \sqrt{64} = \pm 8$. **Ответ: $x + \frac{5}{x} = \pm 8$**