Реши задачи по геометрии: 1) Найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°; 2) Найди сторону AB треугольника ABC, если AC = 5√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°; 3) Найди радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см; 4) Найди сторону квадрата, вписанного в окружность, описанную около правильного треугольника со стороной 18 см.

1. Применяем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$. Подставляем значения: $c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120°)$. Так как $cos(120°) = -0.5$, получаем: $c^2 = 100 + 144 + 120 = 364$. Тогда $c = \sqrt{364} ≈ 19.08$ см. Для нахождения площади треугольника используем формулу: $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(γ)$. Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120°)$. Так как $sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} ≈ 51.96$ см². **Ответ:** Третья сторона ≈ 19.08 см, площадь ≈ 51.96 см². 2. Используем теорему синусов: $\frac{AB}{sin(C)} = \frac{AC}{sin(B)}$. Подставляем значения: $\frac{AB}{sin(30°)} = \frac{5\sqrt{2}}{sin(45°)}$. Так как $sin(30°) = 0.5$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{AB}{0.5} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$. $AB = 0.5 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 0.5 \cdot 10 = 5$ см. **Ответ:** AB = 5 см. 3. Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр, а $a, b, c$ - стороны треугольника. $p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см. $S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см². Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{24}{16} = 1.5$ см. **Ответ:** Радиус вписанной окружности равен 1.5 см. 4. Радиус описанной окружности около правильного треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В нашем случае $a = 18$ см, поэтому $R = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $b = R\sqrt{2}$. $b = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$ см. **Ответ:** Сторона квадрата равна $6\sqrt{6}$ см.