Реши задачи по алгебре: про мяч, функцию, неравенство, область определения выражения, параболу и знаки коэффициентов.

Привет! Давай разберем эти задания по порядку. 1. Мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав начальную скорость 10 м/с. a) Чтобы найти время достижения максимальной высоты, нужно найти вершину параболы, описывающей движение мяча. Время $t$ можно найти по формуле: $t = \frac{-v_0}{g}$, где $v_0$ - начальная скорость (10 м/с), $g$ - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²). Тогда $t = \frac{-10}{-9.8} \approx 1.02$ с. б) Высота мяча через 0,5 с находится по формуле: $h(t) = h_0 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2$, где $h_0$ - начальная высота (1,5 м). Подставляем значения: $h(0.5) = 1.5 + 10 \cdot 0.5 - \frac{9.8 \cdot (0.5)^2}{2} = 1.5 + 5 - 1.225 = 5.275$ м. 2. Функция задана формулой $y = 3x^2 + 2x - 5$. a) Найдём значение функции при $x = -2$. Подставляем $x = -2$ в уравнение: $y = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 3 \cdot 4 - 4 - 5 = 12 - 4 - 5 = 3$. б) При каких значениях $x$ функция принимает значение, равное -5? Решаем уравнение: $3x^2 + 2x - 5 = -5$. Это упрощается до $3x^2 + 2x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(3x + 2) = 0$. Значит, $x = 0$ или $3x + 2 = 0$, откуда $x = -\frac{2}{3}$. в) Найдём нули функции. Решаем уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$. Используем квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a = 3$, $b = 2$, $c = -5$. Получаем $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-2 \pm 8}{6}$. Значит, $x_1 = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$. 3. Функция $y = x^2 + 2x - 8$. a) Построим график функции. Это парабола, ветви направлены вверх. :::div .chart-container @chart-1::: б) Укажем значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. Сначала найдём нули функции: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$. Это $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Функция принимает отрицательные значения между этими нулями, то есть на интервале $(-4; 2)$. в) Укажем промежуток, на котором функция убывает. Так как это парабола с вершиной в точке $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1$, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$. 4. Решим неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$. Сначала найдём корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Это $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Тогда неравенство выполняется, когда $x < 1$ или $x > 2$. 5. Найдём область определения выражения $\sqrt{\frac{1}{2}a^2 - 2}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{1}{2}a^2 - 2 \geq 0$. Умножаем на 2: $a^2 - 4 \geq 0$. Это значит, что $a^2 \geq 4$. Тогда $a \geq 2$ или $a \leq -2$. 6. Запишем уравнение параболы, полученной сдвигом параболы $y = -x^2$ вдоль оси $x$ на 4 единицы вправо и вдоль оси $y$ на 2 единицы вверх. Новое уравнение будет иметь вид: $y = -(x - 4)^2 + 2$. 7. При каких значениях $b$ и $c$ вершина параболы $y = 2x^2 + bx + c$ находится в точке $(-1; 3)$? Вершина параболы имеет координаты $(-1; 3)$, значит $x_в = -1$ и $y_в = 3$. $x_в = -\frac{b}{2a} = -1$, где $a = 2$. Тогда $-1 = -\frac{b}{2 \cdot 2}$, откуда $b = 4$. Теперь подставим координаты вершины в уравнение: $3 = 2(-1)^2 + 4(-1) + c$, откуда $3 = 2 - 4 + c$, и $c = 5$. 8. На рисунке изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a$, $b$ и $c$. * $a < 0$, так как ветви параболы направлены вниз. * $c > 0$, так как график пересекает ось $y$ выше нуля. * $x_в = -\frac{b}{2a}$. Так как $x_в > 0$ и $a < 0$, то $b > 0$. Надеюсь, всё понятно!