Реши уравнения: a) \frac{x^2+2x}{x+4} = \frac{8}{x+4}; б) \frac{10}{x} = 7-x; в) \frac{x+3}{x} = \frac{2x+10}{x-3}; г) \frac{x^2-8x}{5-x} = \frac{15}{x-5}; д) \frac{2x^2+x-1}{x+1} = 3x+1

Конечно, решим эти уравнения! a) $\frac{x^2+2x}{x+4} = \frac{8}{x+4}$ Домножим обе части на $(x+4)$, чтобы избавиться от знаменателя: $x^2 + 2x = 8$ Перенесем 8 в левую часть: $x^2 + 2x - 8 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$. Проверим корни. При $x = -4$ знаменатель $x+4$ обращается в ноль, поэтому $x = -4$ не является решением. **Ответ: $x = 2$** б) $\frac{10}{x} = 7 - x$ Домножим обе части на $x$: $10 = 7x - x^2$ Перенесем все в одну сторону: $x^2 - 7x + 10 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$. **Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = 2$** в) $\frac{x+3}{x} = \frac{2x+10}{x-3}$ Перемножим крест-накрест: $(x+3)(x-3) = x(2x+10)$ Раскроем скобки: $x^2 - 9 = 2x^2 + 10x$ Перенесем все в одну сторону: $x^2 + 10x + 9 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 8}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 8}{2} = -9$. Проверим корни. Подставим $x = -1$: $\frac{-1+3}{-1} = \frac{2(-1)+10}{-1-3} \Rightarrow -2 = -2$, верно. Подставим $x = -9$: $\frac{-9+3}{-9} = \frac{2(-9)+10}{-9-3} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$, верно. **Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -9$** г) $\frac{x^2-8x}{5-x} = \frac{15}{x-5}$ Заметим, что $(5-x) = -(x-5)$. Перепишем уравнение: $\frac{x^2-8x}{-(x-5)} = \frac{15}{x-5}$ Домножим обе части на $(x-5)$: $-(x^2 - 8x) = 15$ $x^2 - 8x + 15 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3$. Проверим корни. При $x = 5$ знаменатель $5-x$ обращается в ноль, поэтому $x = 5$ не является решением. **Ответ: $x = 3$** д) $\frac{2x^2+x-1}{x+1} = 3x+1$ Домножим обе части на $x+1$: $2x^2 + x - 1 = (3x+1)(x+1)$ Раскроем скобки: $2x^2 + x - 1 = 3x^2 + 4x + 1$ Перенесем все в одну сторону: $x^2 + 3x + 2 = 0$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$. Проверим корни. При $x = -1$ знаменатель $x+1$ обращается в ноль, поэтому $x = -1$ не является решением. **Ответ: $x = -2$**