Реши уравнения: 1) \frac{11}{x-9} = \frac{11}{9}; 2) x^4 - 2x^2 - 15 = 0; 3) x^3 = 2x^2 + 8x. Найди скорость велосипедиста на пути из В в А, если он выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км, а на следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч и сделав остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.

Решаю уравнения: 1. $\frac{11}{x-9} = \frac{11}{9}$ Домножаем обе части на $9(x-9)$, предполагая, что $x \neq 9$: $$11 \cdot 9 = 11(x - 9)$$ $$9 = x - 9$$ $$x = 18$$ **Ответ: x = 18** 2. $x^4 - 2x^2 - 15 = 0$ Введём замену $t = x^2$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 2t - 15 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$$ $$t_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$$ $$t_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$$ Возвращаемся к замене: $$x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}$$ $$x^2 = -3 \Rightarrow x = \pm i\sqrt{3}$$ **Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$, $x = \pm i\sqrt{3}$** 3. $x^3 = 2x^2 + 8x$ Переносим всё в одну сторону: $$x^3 - 2x^2 - 8x = 0$$ Выносим $x$ за скобки: $$x(x^2 - 2x - 8) = 0$$ Получаем первый корень $x_1 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ $$x_3 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$ **Ответ: $x = 0, x = 4, x = -2$** 4. **Допущение:** Время в пути из А в В равно времени в пути из В в А (не учитывая остановку). Пусть $v$ - скорость велосипедиста из А в В (км/ч), тогда $v+5$ - скорость велосипедиста из В в А (км/ч). Время из А в В: $t = \frac{180}{v}$. Время из В в А: $t = \frac{180}{v+5} + 3$. Уравниваем времена: $$\frac{180}{v} = \frac{180}{v+5} + 3$$ Умножаем обе части на $v(v+5)$: $$180(v+5) = 180v + 3v(v+5)$$ $$180v + 900 = 180v + 3v^2 + 15v$$ $$3v^2 + 15v - 900 = 0$$ Делим на 3: $$v^2 + 5v - 300 = 0$$ $$D = 5^2 - 4(1)(-300) = 25 + 1200 = 1225$$ $$v_1 = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = 15$$ $$v_2 = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 - 35}{2} = -20$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 15$ км/ч. Тогда скорость из В в А равна $v + 5 = 15 + 5 = 20$ км/ч. **Ответ: 20 км/ч**