Реши задачи по геометрии: 1) Найди угол АОД, 2) Найди углы прямоугольной трапеции, 3) Найди углы треугольника КОМ, 4) Найди углы трапеции, 5) Найди длины сторон параллелограмма, 6) Докажи, что треугольник КМЕ равнобедренный и найди периметр КМНР.

1. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, угол $ABO = 36^\circ$. Нужно найти угол $AOD$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, треугольник $AOB$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle OAB = \angle ABO = 36^\circ$. Тогда $\angle AOB = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$. $\angle AOD$ и $\angle AOB$ - смежные, значит, $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. **Ответ: $\angle AOD = 72^\circ$** 2. Найти углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен $20^\circ$. В прямоугольной трапеции два угла прямые (по $90^\circ$). Если один из углов $20^\circ$, то это острый угол. Тогда четвёртый угол равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 160^\circ$. **Ответ: $20^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $160^\circ$** 3. Диагонали ромба $KMPH$ пересекаются в точке $O$. Найти углы треугольника $KOM$, если $\angle MHP = 80^\circ$. В ромбе диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Значит, $\angle MOP = 90^\circ$, $\angle OMP = \frac{1}{2} \angle KMP$. Так как противоположные углы ромба равны, то $\angle KMP = \angle MHP = 80^\circ$, а значит, $\angle OMP = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$. Тогда $\angle MKO = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. **Ответ: $90^\circ$, $50^\circ$, $40^\circ$** 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна $96^\circ$. Найти углы трапеции. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Значит, каждый из углов при большем основании равен $96^\circ : 2 = 48^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Тогда углы при меньшем основании равны $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$. **Ответ: $48^\circ$, $48^\circ$, $132^\circ$, $132^\circ$** 5. Периметр параллелограмма $70$ см. Одна из его сторон на $5$ см больше другой. Найти длины сторон параллелограмма. Пусть меньшая сторона равна $x$ см, тогда большая сторона равна $(x + 5)$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + x + 5) = 70$. Решаем уравнение: $$2(2x + 5) = 70$$ $$4x + 10 = 70$$ $$4x = 60$$ $$x = 15$$ Значит, меньшая сторона равна $15$ см, а большая $15 + 5 = 20$ см. **Ответ: $15$ см, $15$ см, $20$ см, $20$ см** 6. В параллелограмме $KМНР$ проведена биссектриса угла $МКР$, которая пересекает сторону $МН$ в точке $E$. a) Доказать, что треугольник $КМЕ$ равнобедренный. б) Найти периметр $КМНР$, если $МЕ = 10$ см, $ЕН = 6$ см. а) Доказательство: $\angle MKE = \angle EKP$, так как $KE$ - биссектриса. $\angle EKP = \angle MEK$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $KP$ и $MH$ и секущей $KE$. Следовательно, $\angle MKE = \angle MEK$, а значит, треугольник $KME$ равнобедренный, и $KM = ME$. б) Найдем периметр $KМНР$. Так как $KM = ME = 10$ см, а $MH = ME + EH = 10 + 6 = 16$ см. Периметр параллелограмма равен $2(KM + MH) = 2(10 + 16) = 2 \cdot 26 = 52$ см. **Ответ: 52 см**