Определи, сколько баллов могли набрать все четыре модели в сумме.

Пусть: $a$ - баллы первой модели (золотая медаль, не менее 35 баллов), $b$ - баллы второй модели (серебряная медаль, от 28 до 34 баллов), $c$ - баллы третьей модели (бронзовая медаль, от 19 до 27 баллов), $d$ - баллы четвертой модели (похвальная грамота, не более 18 баллов, но хотя бы 7 баллов за одну задачу). Из условия известно, что $a + d = b + c - 19$. Нужно найти возможные значения суммы $a + b + c + d$. Выразим её через известную сумму $a+d$: $a + b + c + d = (b + c - 19) + b + c = 2(b + c) - 19$. Теперь рассмотрим возможные значения для $b$ и $c$: $b_{min} = 28$, $b_{max} = 34$, $c_{min} = 19$, $c_{max} = 27$. Тогда: $b_{min} + c_{min} = 28 + 19 = 47$, $b_{max} + c_{max} = 34 + 27 = 61$. Подставим эти значения в выражение для общей суммы: $2(47) - 19 = 94 - 19 = 75$, $2(61) - 19 = 122 - 19 = 103$. Таким образом, сумма баллов всех моделей может варьироваться от 75 до 103 включительно. Осталось проверить, какие из этих значений возможны. Проверим крайние случаи: 1) Если $a = 35$, $b = 28$, $c = 19$, то $a + d = b + c - 19$ => $35 + d = 28 + 19 - 19$ => $35 + d = 28$ => $d = -7$. Это невозможно, так как $d$ должно быть не менее 0. 2) Если $b = 34$, $c = 27$, то $a + d = 34 + 27 - 19 = 42$. Так как $a \ge 35$ и $d \le 18$, то $35 \le a \le 42$ и $0 \le d \le 7$. Проанализируем возможные суммы. Заметим, что $a + d = b + c - 19$. Так как $b$ и $c$ могут принимать любые целые значения в своих диапазонах, то $b + c$ может принимать любое целое значение от 47 до 61. Значит, $a + d$ может принимать любое целое значение от 28 до 42. При этом $a \ge 35$ и $d \le 18$. Пусть $S = a + b + c + d$. Тогда $S = a + d + b + c = b + c - 19 + b + c = 2(b + c) - 19$. Так как $b + c$ может принимать любое целое значение от 47 до 61, то $S$ может принимать любое нечетное значение от $2 \cdot 47 - 19 = 75$ до $2 \cdot 61 - 19 = 103$. Поэтому возможные значения для суммы баллов всех четырёх моделей: 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103. **Ответ: 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103**