Вычисли значение выражения $25^{1,5} + 0,25^{-0,5} - 81^{0,75}$, реши уравнения и неравенства, а также систему уравнений.

## 1. Вычислить: $25^{1,5} + 0,25^{-0,5} - 81^{0,75}$ Сначала упростим каждое слагаемое: * $25^{1,5} = (5^2)^{1,5} = 5^{2 \cdot 1,5} = 5^3 = 125$ * $0,25^{-0,5} = (\frac{1}{4})^{-0,5} = 4^{0,5} = \sqrt{4} = 2$ * $81^{0,75} = (3^4)^{0,75} = 3^{4 \cdot 0,75} = 3^3 = 27$ Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение: $125 + 2 - 27 = 100$ **Ответ: 100** ## 2. Решить уравнения: ### A) $\sqrt{2}^{-1} \cdot 2^{x^2-7,5} = \frac{1}{128}$ Упростим уравнение: * $\sqrt{2}^{-1} = 2^{-\frac{1}{2}}$ * $\frac{1}{128} = 2^{-7}$ Тогда уравнение можно переписать как: $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{x^2-7,5} = 2^{-7}$ $2^{x^2-7,5 - \frac{1}{2}} = 2^{-7}$ Приравняем показатели: $x^2 - 7,5 - 0,5 = -7$ $x^2 - 8 = -7$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ **Ответ: x = 1, x = -1** ### Б) $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4,8$ Вынесем общий множитель $5^{2x-3}$ за скобки: $5^{2x-3}(5^2 - 1) = 4,8$ $5^{2x-3}(25 - 1) = 4,8$ $5^{2x-3} \cdot 24 = 4,8$ $5^{2x-3} = \frac{4,8}{24} = \frac{1}{5}$ $5^{2x-3} = 5^{-1}$ Приравняем показатели: $2x - 3 = -1$ $2x = 2$ $x = 1$ **Ответ: x = 1** ### В) $4^{x+1} - 6^x - 2 \cdot 9^{x+1} = 0$ Разделим обе части уравнения на $9^{x+1}$: $\frac{4^{x+1}}{9^{x+1}} - \frac{6^x}{9^{x+1}} - 2 = 0$ $(\frac{4}{9})^{x+1} \cdot \frac{9}{4} - (\frac{6}{9})^x \cdot \frac{1}{9} - 2 = 0$ $(\frac{4}{9})^x \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} - (\frac{2}{3})^x \cdot \frac{1}{9} - 2 = 0$ $(\frac{4}{9})^x - \frac{1}{9} (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$ Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$, тогда $(\frac{4}{9})^x = t^2$. Уравнение примет вид: $t^2 - \frac{1}{9}t - 2 = 0$ Умножим на 9: $9t^2 - t - 18 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-18) = 1 + 648 = 649$ $t_1 = \frac{1 + \sqrt{649}}{18} \approx 1,45$ $t_2 = \frac{1 - \sqrt{649}}{18} \approx -1,34$ (не подходит, т.к. $t > 0$) $(\frac{2}{3})^x = \frac{1 + \sqrt{649}}{18}$ $x = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{1 + \sqrt{649}}{18}) \approx -1.14$ **Ответ: x ≈ -1.14** ## 3. Решить неравенства: ### А) $0,9^{x^2-4x} < (\frac{10}{9})^3$ Преобразуем неравенство: $(\frac{9}{10})^{x^2-4x} < (\frac{10}{9})^3$ $(\frac{9}{10})^{x^2-4x} < (\frac{9}{10})^{-3}$ Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: $x^2 - 4x > -3$ $x^2 - 4x + 3 > 0$ $(x-1)(x-3) > 0$ Решаем методом интервалов: $x < 1$ или $x > 3$ **Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$** ### Б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} \le 160$ Вынесем общий множитель $2^{4x-3}$ за скобки: $2^{4x-3}(2^2 + 2^1 - 1) \le 160$ $2^{4x-3}(4 + 2 - 1) \le 160$ $2^{4x-3} \cdot 5 \le 160$ $2^{4x-3} \le 32$ $2^{4x-3} \le 2^5$ Приравняем показатели: $4x - 3 \le 5$ $4x \le 8$ $x \le 2$ **Ответ: $x \le 2$** ## 4. Решить систему уравнений: $\begin{cases} y - x = 7 \\ 3^x \cdot 3^{2y-2} = 27 \end{cases}$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 7$ Подставим во второе уравнение: $3^x \cdot 3^{2(x+7)-2} = 27$ $3^x \cdot 3^{2x+14-2} = 3^3$ $3^x \cdot 3^{2x+12} = 3^3$ $3^{3x+12} = 3^3$ Приравняем показатели: $3x + 12 = 3$ $3x = -9$ $x = -3$ Теперь найдем $y$: $y = x + 7 = -3 + 7 = 4$ **Ответ: x = -3, y = 4**