Реши задачи про перестановки, размещения и сочетания из IV варианта С-9

1. Нужно посчитать, сколько семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 без повторений. Это задача на перестановки. Количество перестановок из n элементов равно n! (n-факториал). В данном случае n = 7. $$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$$ 2. Нужно выбрать председателя, казначея и секретаря из 8 членов организации. Это задача на размещение, так как важен порядок выбора (председатель, казначей и секретарь - разные должности). Число размещений из n по k равно $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В данном случае n = 8, k = 3. $$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$$ 3. Нужно выбрать 16 книг из 20. Это задача на сочетания, так как порядок выбора не важен. Число сочетаний из n по k равно $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае n = 20, k = 16. $$C_{20}^{16} = \frac{20!}{16!(20-16)!} = \frac{20!}{16!4!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$$ 4. Нужно выбрать 2 авторучки из 5 и 3 блокнота из 6. Это задача на сочетания для каждого типа предметов, а затем нужно перемножить результаты. Для авторучек: $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$. Для блокнотов: $C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2} = 20$. Общее число способов: $10 \times 20 = 200$. 5. Вычислите: a) $P_8$ (перестановки из 8 элементов) = 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 b) $A_9^4$ (размещения из 9 по 4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5! = 9 * 8 * 7 * 6 = 3024 c) $C_{11}^8$ (сочетания из 11 по 8) = 11! / (8! * 3!) = (11 * 10 * 9) / (3 * 2 * 1) = 165 6. Доказать: $k \cdot C_n^k = n \cdot C_{n-1}^{k-1}$ $$k \cdot C_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{k \cdot n!}{k(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$$ $$n \cdot C_{n-1}^{k-1} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$$ Так как оба выражения равны $\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$, равенство доказано. **Ответы:** 1. 5040 2. 336 3. 4845 4. 200 5. a) 40320, б) 3024, в) 165 6. Доказано