Найди значения синуса, косинуса и тангенса, проверь, лежат ли точки на единичной окружности, найди координаты точки.

1. a) Давай вспомним основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Если $cos \alpha = \frac{1}{3}$, то $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. Значит, $sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$. б) Точно так же, если $sin \alpha = \frac{2}{5}$, то $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$. Значит, $cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$. в) Тут нужно вспомнить, что $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$. Чтобы найти $sin \alpha$, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Значит, $sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $tg \alpha = \frac{\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \pm \sqrt{3}$. 2. a) Проверим точку $A(\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{15}}{4})$. Для этого подставим координаты в уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$. $(\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2 = \frac{1}{16} + \frac{15}{16} = \frac{16}{16} = 1$. Значит, точка A лежит на единичной окружности. б) Проверим точку $B(7; 3)$. $7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$. Так как $58 \neq 1$, точка B не лежит на единичной окружности. в) Проверим точку $C(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$. $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq 1$, точка C не лежит на единичной окружности. 3. a) Если $OM = 4$ и $\alpha = 60^\circ$, то координаты точки $M$ можно найти по формулам: $x = OM \cdot cos \alpha$ и $y = OM \cdot sin \alpha$. $x = 4 \cdot cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. $y = 4 \cdot sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Значит, координаты точки $M$ равны $(2; 2\sqrt{3})$. б) Если $OM = 8$ и $\alpha = 150^\circ$, то $x = 8 \cdot cos 150^\circ$ и $y = 8 \cdot sin 150^\circ$. $cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin 150^\circ = \frac{1}{2}$. $x = 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4\sqrt{3}$. $y = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. Значит, координаты точки $M$ равны $(-4\sqrt{3}; 4)$.