Найди угол BAC в треугольнике ABC, зная, что медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°.

Пусть $AB = 4x$, тогда медиана $AM = x$. 1. Продлим медиану $AM$ на отрезок $MD = AM$, тогда $AM = MD = x$. Получается, что $ABDM$ - параллелограмм, так как диагонали в точке пересечения делятся пополам. 2. В параллелограмме $ABDM$ угол между сторонами $AB$ и $AM$ равен $60^\circ$, следовательно, угол $\angle B = \angle ADM = 60^\circ$, так как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, равны. 3. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AB = DM = 4x$ и $BD = AM = x$. 4. Рассмотрим треугольник $ADM$. В нём $AM = x$, $DM = 4x$, $\angle ADM = 60^\circ$. По теореме косинусов найдем сторону $AD$: $AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot cos(60^\circ)$, $AD^2 = x^2 + (4x)^2 - 2 \cdot x \cdot 4x \cdot \frac{1}{2}$, $AD^2 = x^2 + 16x^2 - 4x^2 = 13x^2$, $AD = x\sqrt{13}$. 5. Так как $ABDM$ - параллелограмм, то $AB = DM = 4x$ и $BD = AM = x$. 6. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём $AB = 4x$, $BD = x$, $AD = x\sqrt{13}$. По теореме косинусов найдем угол $\angle ABD$: $AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot cos(\angle ABD)$, $(x\sqrt{13})^2 = (4x)^2 + x^2 - 2 \cdot 4x \cdot x \cdot cos(\angle ABD)$, $13x^2 = 16x^2 + x^2 - 8x^2 \cdot cos(\angle ABD)$, $8x^2 \cdot cos(\angle ABD) = 4x^2$, $cos(\angle ABD) = \frac{4x^2}{8x^2} = \frac{1}{2}$, $\angle ABD = 60^\circ$. 7. Теперь найдем угол $\angle BAC$. Угол $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle BAM$ и $\angle MAC$. Угол $\angle BAM = 60^\circ$ (по условию). Угол $\angle MAC = \angle BDA$, так как $ABDM$ - параллелограмм, и $\angle BDA$ - внутренний накрест лежащий с $\angle BAM$. Найдем угол $\angle BDA$: $\angle BDA = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle ABD) = \frac{1}{2} (180^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$. Тогда $\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. **Ответ: $\angle BAC = 120^\circ$**