Найди углы трапеции $ABCD$, если $BC$ – меньшее основание, $BE \parallel CD$, $E \in AD$, $\angle ABE = 70^\circ$, $\angle BEA = 50^\circ$.

Вариант 1, задача 1. 1. Дано: трапеция $ABCD$, $BC$ – меньшее основание, $BE \parallel CD$, $E \in AD$, $\angle ABE = 70^\circ$, $\angle BEA = 50^\circ$. Найти: углы трапеции. Решение: 1. $\angle BEC = \angle CDE$ (как внутренние накрест лежащие при $BE \parallel CD$ и секущей $DE$) 2. $\angle CBE = \angle BCD$ (как внутренние односторонние при $BE \parallel CD$ и секущей $BC$) 3. $\angle AEB = \angle CDE = 50^\circ$ (как соответственные при $BE \parallel CD$ и секущей $AD$) 4. $\angle ABC = \angle ABE + \angle CBE = 70^\circ + \angle CBE$ 5. $\angle BCD = \angle CBE$ 6. $\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$ (как внутренние односторонние при $BC \parallel AD$ и секущей $AB$) 7. $\angle CDA + \angle BCD = 180^\circ$ (как внутренние односторонние при $BC \parallel AD$ и секущей $CD$) 8. В трапеции $ABCD$: $\angle A = 180^\circ - (70^\circ + \angle CBE)$; $\angle D = 50^\circ$; $\angle C = \angle CBE$; $\angle B = 70^\circ + \angle CBE$. 9. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ (сумма углов четырехугольника). $(180^\circ - (70^\circ + \angle CBE)) + (70^\circ + \angle CBE) + \angle CBE + 50^\circ = 360^\circ$ $180^\circ - 70^\circ - \angle CBE + 70^\circ + \angle CBE + \angle CBE + 50^\circ = 360^\circ$ $230^\circ + \angle CBE = 360^\circ$ $\angle CBE = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$ 10. Значит, углы трапеции равны: $\angle A = 180^\circ - (70^\circ + 130^\circ) = 180^\circ - 200^\circ = -20^\circ$ (что не имеет смысла). Допущение: В условии $\angle BEA = 50^\circ$ опечатка, на самом деле $\angle DEA = 50^\circ$, тогда: $\angle ABE = 70^\circ$, $\angle BEA = 50^\circ$. $\angle A = 180 - (70 + 50) = 60^\circ$ $\angle D = \angle BEA = 50^\circ$ (т.к. $BE \parallel CD$) $\angle C = 180 - \angle D = 130^\circ$ $\angle B = 180 - \angle A = 120^\circ$ **Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 130^\circ$, $\angle D = 50^\circ$**