Реши задачи про параллелограмм и его виды: 1) Найди стороны параллелограмма, если одна из сторон в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см; 2) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, AD = 14 см, BD = 18 см. Найди периметр треугольника BOC; 3) Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 68°. Найди углы ромба; 4) Докажи, что ∠ADP = ∠CBK, если на диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки P и K так, что AP = CK (точка P лежит между точками A и K); 5) В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке P. Отрезок AP меньше отрезка BP в 6 раз. Найди периметр параллелограмма, если AB = 14 см; 6) Докажи, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм, если прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причём ME = KE.

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$, тогда другая сторона равна $5x$. Периметр параллелограмма равен $2(x + 5x) = 12x$. По условию, $12x = 36$, значит, $x = 3$. Стороны параллелограмма равны 3 см и 15 см. **Ответ: 3 см, 15 см** 2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $BO = OC = BD/2 = 18/2 = 9$ см. Так как $AD = BC = 14$ см, то $OC = 9$ см. Периметр треугольника $BOC$ равен $BO + OC + BC = 9 + 9 + 14 = 32$ см. **Ответ: 32 см** 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом. Пусть угол между стороной ромба и диагональю равен $68^\circ$. Тогда один из углов ромба равен $2 \cdot 68^\circ = 136^\circ$. Противоположные углы ромба равны, значит, второй угол равен $136^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, значит, два других угла ромба равны $180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$. **Ответ: 44°, 136°, 44°, 136°** 4. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ с диагональю $AC$. На диагонали отметили точки $P$ и $K$ так, что $AP = CK$. Нужно доказать, что $\angle ADP = \angle CBK$. Рассмотрим треугольники $ADP$ и $CBK$. У них $AD = BC$ (как противоположные стороны параллелограмма), $AP = CK$ (по условию) и $\angle DAP = \angle BCK$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$). Следовательно, $\triangle ADP = \triangle CBK$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle ADP = \angle CBK$. **Что и требовалось доказать.** 5. Пусть $AP = x$, тогда $BP = 6x$. Так как $AB = AP + BP = 14$ см, то $x + 6x = 14$, значит, $7x = 14$ и $x = 2$ см. Следовательно, $AP = 2$ см, а $BP = 12$ см. Так как $DP$ - биссектриса угла $D$, то $\angle ADP = \angle CDP$. Углы $\angle ADP$ и $\angle BPC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DP$. Значит, $\angle CDP = \angle BPC$, следовательно, треугольник $CDP$ - равнобедренный и $CD = CP = AB = 14$ см. Тогда $BC = AD = AP + PC = 2 + 14 = 16$ см. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $2(AB + BC) = 2(14 + 16) = 2 \cdot 30 = 60$ см. **Ответ: 60 см** 6. Рассмотрим четырехугольник $BKDM$. $E$ - точка пересечения $BD$ и прямой, проходящей через точки $M$ и $K$. По условию, $ME = KE$. Также, так как $ABCD$ - параллелограмм, то $AB \parallel CD$, а значит, $BM \parallel DK$. Рассмотрим треугольники $BME$ и $DKE$. У них $ME = KE$ (по условию), $\angle BEM = \angle DEK$ (как вертикальные углы) и $\angle MBE = \angle KDE$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$). Следовательно, $\triangle BME = \triangle DKE$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $BE = DE$. Так как в четырехугольнике $BKDM$ диагонали $BD$ и $MK$ точкой $E$ делятся пополам ($BE = DE$ и $ME = KE$), то этот четырехугольник является параллелограммом. **Что и требовалось доказать.**