Реши задачи по геометрии: 1) Найди стороны параллелограмма, если одна из его сторон в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см; 2) Найдите периметр треугольника BOC в прямоугольнике ABCD; 3) Найдите углы ромба, если сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 68°; 4) Докажите, что ∠ADP = ∠CBK; 5) Найдите периметр параллелограмма ABCD, если биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке P, отрезок AP меньше отрезка BP в 6 раз, AB = 14 см.

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$, тогда другая сторона равна $5x$. Периметр параллелограмма равен $2(x + 5x) = 12x$. По условию периметр равен 36 см, значит, $12x = 36$, откуда $x = 3$. Тогда одна сторона равна 3 см, а другая $5 \cdot 3 = 15$ см. **Ответ: 3 см, 15 см** 2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см, $OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = 9$ см. Периметр треугольника $BOC$ равен $BO + OC + BC = 9 + 9 + 14 = 32$ см. **Ответ: 32 см** 3. В ромбе все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами его углов. Пусть сторона ромба образует с диагональю угол 68°. Тогда половина угла ромба равна 68°, а весь угол равен $2 \cdot 68 = 136$°. Противоположные углы ромба равны, значит, второй угол также равен 136°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому два других угла ромба равны $180 - 136 = 44$°. **Ответ: 44°, 44°, 136°, 136°** 4. Рассмотрим треугольники $ADP$ и $CBK$. $AD = BC$ как противоположные стороны параллелограмма. $\angle DAC = \angle BCA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. $AP = CK$ по условию. Тогда треугольники $ADP$ и $CBK$ равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle ADP = \angle CBK$. 5. Пусть $AP = x$, тогда $BP = 6x$. $AB = AP + BP = x + 6x = 7x$. По условию $AB = 14$ см, значит, $7x = 14$, откуда $x = 2$. Тогда $AP = 2$ см, $BP = 6 \cdot 2 = 12$ см. Так как $AP$ - биссектриса угла $D$, то $\angle ADP = \angle CDP$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle CDP = \angle APB$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $\angle ADP = \angle APB$, значит, треугольник $ADP$ - равнобедренный, и $AD = AP = 2$ см. Периметр параллелограмма равен $2(AB + AD) = 2(14 + 2) = 2 \cdot 16 = 32$ см. **Ответ: 32 см**