Определи ускорение ракеты массой m = 10^6 кг через 1 мин после старта при секундном расходе топлива μ = 7,5 * 10^3 кг/с, массу ракеты с топливом m₀ = 10^6 кг, определи скорость снаряда до разрыва, определи скорость тележки, чему равен секундный расход топлива в момент старта ракеты массой m = 10^6 кг, если она стартует вертикально с ускорением a = 3 м/с²?

13.1. Давай решим эту задачу. Сначала запишем второй закон Ньютона с учётом реактивной силы: $ma = \mu u - mg$, где: * $m = 10^6$ кг - масса ракеты, * $\mu = 7,5 \cdot 10^3$ кг/с - расход топлива, * $u = 2 \cdot 10^3$ м/с - скорость истечения газов, * $g = 9,8$ м/с² - ускорение свободного падения. Тогда ускорение ракеты равно: $a = \frac{\mu u}{m} - g = \frac{7,5 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^3}{10^6} - 9,8 = 15 - 9,8 = 5,2$ м/с². **Ответ: 5,2 м/с²** 13.2. Для решения этой задачи нам понадобится формула Циолковского: $v = u \ln{\frac{m_0}{m}}$, где: * $v = 8 \cdot 10^3$ м/с - первая космическая скорость, * $u = 4 \cdot 10^3$ м/с - скорость истечения газов, * $m_0 = 10^6$ кг - начальная масса ракеты с топливом, * $m$ - конечная масса ракеты без топлива. Выразим отношение масс: $\frac{m_0}{m} = e^{\frac{v}{u}} = e^{\frac{8 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^3}} = e^2 \approx 7,39$. Тогда конечная масса ракеты без топлива: $m = \frac{m_0}{7,39} = \frac{10^6}{7,39} \approx 135318$ кг. Масса топлива: $m_{топлива} = m_0 - m = 10^6 - 135318 = 864682$ кг. Расход топлива: $\mu = \frac{m_{топлива}}{t}$. Допущение: Считаем, что ракета достигает первой космической скорости мгновенно. Тогда время $t$ очень мало, и расход топлива будет очень большим. Чтобы найти адекватный расход топлива, нужно знать время разгона ракеты до первой космической скорости. 13.3. Давай решим эту задачу, используя закон сохранения импульса. Импульс снаряда до взрыва равен сумме импульсов осколков после взрыва: $\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$, где: * $\vec{p}$ - импульс снаряда до взрыва, * $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ - импульсы осколков после взрыва. Так как массы осколков одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), то: $2m\vec{v} = m\vec{v_1} + m\vec{v_2}$, где $\vec{v}$ - скорость снаряда до взрыва. Тогда: $2\vec{v} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$. Скорость снаряда до взрыва равна: $v = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}{2} = \frac{\sqrt{300^2 + 400^2}}{2} = \frac{500}{2} = 250$ м/с. **Ответ: 250 м/с** 13.4. Давай решим эту задачу, используя закон сохранения импульса. Импульс системы «тележка + мальчик» до начала движения мальчика равен импульсу системы после начала движения: $0 = m_1v_1 + m_2v_2$, где: * $m_1 = 25$ кг - масса тележки, * $m_2 = 50$ кг - масса мальчика, * $v_1$ - скорость тележки, * $v_2$ - скорость мальчика относительно земли. Скорость мальчика относительно земли равна: $v_2 = v - v_1 = 3 - v_1$. Тогда: $0 = m_1v_1 + m_2(v - v_1)$. Выразим скорость тележки: $v_1 = \frac{m_2v}{m_1 + m_2} = \frac{50 \cdot 3}{25 + 50} = \frac{150}{75} = 2$ м/с. **Ответ: 2 м/с** 13.5. Давай решим эту задачу. Запишем второй закон Ньютона с учётом реактивной силы: $ma = \mu u - mg$, где: * $m = 10^6$ кг - масса ракеты, * $a = 3$ м/с² - ускорение ракеты, * $u = 4 \cdot 10^3$ м/с - скорость истечения газов, * $g = 9,8$ м/с² - ускорение свободного падения. Тогда расход топлива равен: $\mu = \frac{m(a + g)}{u} = \frac{10^6(3 + 9,8)}{4 \cdot 10^3} = \frac{12,8 \cdot 10^6}{4 \cdot 10^3} = 3,2 \cdot 10^3$ кг/с. **Ответ: 3,2 \cdot 10^3 кг/с**