Вычисли расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если высота конуса 8 дм, а площадь сечения равна половине площади основания и четверти площади основания.

Пусть $H$ – высота конуса, а $h$ – расстояние от вершины конуса до плоскости сечения. Пусть $S$ – площадь основания конуса, а $s$ – площадь сечения. Площади сечения и основания конуса относятся как квадраты расстояний от вершины до плоскости сечения и до плоскости основания, то есть $$\frac{s}{S} = \frac{h^2}{H^2}.$$ В нашем случае $H = 8$ дм. a) Площадь сечения равна половине площади основания: $s = \frac{1}{2}S$. Тогда $$\frac{\frac{1}{2}S}{S} = \frac{h^2}{8^2},$$ $$\frac{1}{2} = \frac{h^2}{64},$$ $$h^2 = 32,$$ $$h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ дм}.$$ б) Площадь сечения равна четверти площади основания: $s = \frac{1}{4}S$. Тогда $$\frac{\frac{1}{4}S}{S} = \frac{h^2}{8^2},$$ $$\frac{1}{4} = \frac{h^2}{64},$$ $$h^2 = 16,$$ $$h = \sqrt{16} = 4 \text{ дм}.$$ **Ответ:** a) $4\sqrt{2}$ дм, б) 4 дм.