Реши задачи по геометрии из теста 4

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AC$ - биссектриса угла $DAB$, то $\angle DAC = \angle CAB$. Углы $DAC$ и $BCA$ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle CAB = \angle BCA$, а значит, треугольник $ABC$ равнобедренный. **Ответ: Равнобедренный.** 2. Сумма внешних углов $KAB$ и $CDM$ при боковых сторонах трапеции равна $105° + 130° = 235°$. Сумма всех внешних углов трапеции равна $360°$. Значит, сумма двух других внешних углов равна $360° - 235° = 125°$. Так как внешние углы при параллельных сторонах трапеции равны внутренним односторонним, то сумма внутренних углов при этих сторонах равна $125°$. Угол $BCD$ является внутренним углом трапеции, прилежащим к стороне $CD$. Следовательно, $\angle BCD = 125°$. **Ответ: 125°** 3. $\angle D = 90°$. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180°$. Значит, $\angle A = 180° - 90° = 90°$. $\angle AQN = (\angle A + \angle C) / 2 = (90° + 30°) / 2 = 60°$. **Ответ: 60°** 4. Допущение: Высота трапеции равна меньшему основанию $BC$. Так как $\angle A = 45°$, то высота трапеции равна $AB * sin(45°) = AB * (\sqrt{2} / 2)$. Так как высота равна меньшему основанию $BC = 7$ см, то $AB * (\sqrt{2} / 2) = 7$. Значит, $AB = 7 * (2 / \sqrt{2}) = 7 * \sqrt{2}$. Большее основание $AD$ равно $AB * cos(45°) = 7 * \sqrt{2} * (\sqrt{2} / 2) = 7$ см. **Ответ: 7 см** 5. Допущение: $ABCD$ - равнобедренная трапеция, так как $AB = CD$. Пусть $BC = x$, тогда $AD = 2x$. Проведем высоты $BH$ и $CF$. Тогда $AH = FD = (AD - BC) / 2 = (2x - x) / 2 = x / 2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем $cos A = AH / AB = (x / 2) / x = 1 / 2$. Значит, $\angle A = arccos(1 / 2) = 60°$. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180°$. Следовательно, $\angle CDA = 180° - 60° = 120°$. **Ответ: 120°**