Реши уравнение (a) 30/(x²-1) + (7-18x)/(x³+1) = 13/(x²-x+1)

Решим уравнение $$\frac{30}{x^2-1} + \frac{7-18x}{x^3+1} = \frac{13}{x^2-x+1}$$. Преобразуем уравнение, используя формулы разности квадратов и суммы кубов: $\frac{30}{(x-1)(x+1)} + \frac{7-18x}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{13}{x^2-x+1}$$ Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)(x^2-x+1)$. Домножим каждую дробь на соответствующие множители, чтобы привести к общему знаменателю: $\frac{30(x^2-x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{(7-18x)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{13(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно приравнять числители: $30(x^2-x+1) + (7-18x)(x-1) = 13(x-1)(x+1)$$ Раскроем скобки: $30x^2 - 30x + 30 + 7x - 7 - 18x^2 + 18x = 13(x^2 - 1)$$ $30x^2 - 30x + 30 + 7x - 7 - 18x^2 + 18x = 13x^2 - 13$$ Приведем подобные члены: $12x^2 - 5x + 23 = 13x^2 - 13$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + 5x - 36 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или теоремой Виета. По теореме Виета, найдем два числа, которые в сумме дают -5, а в произведении -36. Это числа 4 и -9. $(x - 4)(x + 9) = 0$$ Таким образом, корни уравнения: $x = 4$ или $x = -9$ Проверим, не являются ли эти корни посторонними, подставив их в исходное уравнение. Важно убедиться, что знаменатели не обращаются в нуль. При $x = 4$: $x^2 - 1 = 16 - 1 = 15 ≠ 0$ $x^3 + 1 = 64 + 1 = 65 ≠ 0$ $x^2 - x + 1 = 16 - 4 + 1 = 13 ≠ 0$ При $x = -9$: $x^2 - 1 = 81 - 1 = 80 ≠ 0$ $x^3 + 1 = -729 + 1 = -728 ≠ 0$ $x^2 - x + 1 = 81 + 9 + 1 = 91 ≠ 0$ Оба корня подходят. **Ответ: $x = 4$, $x = -9$**