Реши задачи по геометрии: 1. Найди стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 96 см, а сторона АВ больше ВС в 3 раза; 2. Найди углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 16°; 3. Найди углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 140°; 4. Найди диагонали прямоугольника АВСД, если <АВД=30°, АД-19 см; 5. Начертите произвольный отрезок. Разделите его с помощью циркуля и линейки на 6 частей; 6. В ромбе МНРК с тупым углом К диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 15°. Найди углы ромба.

1. Пусть сторона BC = $x$, тогда сторона AB = $3x$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC)$. $$2(3x + x) = 96$$ $$8x = 96$$ $$x = 12$$ Значит, BC = 12 см, AB = 36 см. **Ответ: BC = 12 см, AB = 36 см** 2. В параллелограмме ABCD угол A + угол B = 180°. Пусть угол A = $y$, тогда угол B = $y + 16$. $$y + y + 16 = 180$$ $$2y = 164$$ $$y = 82$$ Значит, угол A = 82°, угол B = 98°. Угол C = углу A = 82°, угол D = углу B = 98°. **Ответ: угол A = 82°, угол B = 98°, угол C = 82°, угол D = 98°** 3. В прямоугольной трапеции два угла прямые (90°). Если больший из углов равен 140°, то это один из тупых углов. Четвертый угол равен 360° - (90° + 90° + 140°) = 40°. **Ответ: 90°, 90°, 140°, 40°** 4. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. $\angle ABD = 30°$, значит, $\angle ADB = 90° - 30° = 60°$. Рассмотрим треугольник ABD: $\sin(\angle ADB) = \frac{AB}{AD}$. Тогда $AB = AD * \sin(60°) = 19 * \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 16.45$ см. По теореме Пифагора, $BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{19^2 + (19 * \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{361 + \frac{1083}{4}} = \sqrt{\frac{1444 + 1083}{4}} = \sqrt{\frac{2527}{4}} \approx 25.13$ см. Диагонали прямоугольника равны, поэтому AC = BD ≈ 25.13 см. **Ответ: AC ≈ 25.13 см, BD ≈ 25.13 см** 5. Для деления отрезка на 6 равных частей с помощью циркуля и линейки: a) Начертите произвольный отрезок. b) От одного конца отрезка проведите луч под произвольным углом. c) На луче отложите циркулем 6 равных отрезков, начиная от начальной точки луча. d) Соедините конец последнего отрезка на луче с другим концом исходного отрезка. e) Через остальные точки на луче проведите прямые, параллельные полученной прямой. Эти прямые разделят исходный отрезок на 6 равных частей. 6. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и пересекаются под прямым углом. Один из углов треугольника PKE равен 15°. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то угол PEK = 90°. Тогда угол KPE = 180° - (90° + 15°) = 75°. Угол HPK = 2 * угол KPE = 2 * 75° = 150°. Так как в ромбе противоположные углы равны, то угол MHK = углу HPK = 150°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому угол MHP = 180° - 150° = 30°. Значит, угол MKP = углу MHP = 30°. **Ответ: углы ромба: 150°, 30°, 150°, 30°**